Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 28 Pág. 45⎛ 1 1 2⎜⎝ 2 −1 14 ⎞⎟2 ⎠⎛ 1 1 2 4 ⎞⎜⎟⎝ 0 −3 −3−6 ⎠⎛ 1 1 2 4 ⎞⎜⎟⎝ 0 −1 −1−2 ⎠⎛ 1 1⎜⎝ 0 −14 − 2z⎞⎟− 2 + z ⎠Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 1 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - 2 · [1ªf.]Simplifiquemos la segunda fila por 3.Los elementos de la diagonal principal son distintos de cero. Tenemosdos ecuaciones y tres incógnitas, es un sistema compatibleindeterminado uniparamétrico. Nos sobra una incógnita, la z, que lapasamos al segundo miembro como incógnita no principal o secundaria.Triangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = -1 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] + [2ªf.]⎛ 1 0 2 − z ⎞ El sistema está diagonalizado. La solución es:⎜⎟⎝ 0 −1− 2 + z ⎠x = 2 - z ; y = 2 - zSustituyamos la incógnita z por un parámetro, por ejemplo, λ,tendremos la ecuación de la recta intersección de los dos planos en forma paramétrica:⎧ x = 2 − λ⎪⎨ y = 2 − λ⎩⎪ z = λPara calcular la distancia del origen O=(0, 0, 0) a la recta, elegimos de la recta un puntogenérico H=(2-λ, 2-λ, λ) y le imponemos la condición de que el vector OH →sea perpendicularral vector v = ( −1, − 1,1)de dirección de la recta.OH → = ( 2 − λ, 2 − λ, λ ) − ( 0, 0, 0 ) = ( 2 − λ, 2 − λ,λ )→→OH ⊥ rrv ⇒ OH • v = 0 ⇒ ( 2 − λ, 2 − λ, λ) • ( −1 , − 1,1)= 0 ⇒4− 2 + λ − 2 + λ + λ = 0 ⇒ 3λ = 4 ⇒ λ =3luego el vector OH → tendrá de coordenadas:→OH = ( − − ) =⎛ 42 2 ⎜2− −⎞⎟ =⎛⎜⎞⎟⎝ 3 2 4 4 2 2 4λ, λ, λ , , , ,3 3⎠⎝ 3 3 3⎠y la distancia entre el origen O y la recta intersección es:2 2 2dist (O, r) = OH→ = ⎛ ⎝ ⎜ 2⎞ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ 2⎞ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ 4⎞ 4 4 16 24 2 6⎟ = + + = =3 3 3 ⎠ 9 9 9 9 3.SOLUCIÓN EJERCICIO 1.-SOLUCIONES Opción BComo el perímetro es 40 kilómetros, el semiperímetro es 20, es decir, si a la base de los