Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 31 Pág. 77sen( 2x) - 2 sen(x) = 0 Y sen( 2x) = 2 sen(x) Y 2 sen( x) cos(x) = 2 sen(x) Y2 sen( x) cos(x) - 2 sen(x) = 0 Y 2 sen( x) [ cos(x) - 1] = 0 Ysen(x) = 0 Y x = 0, x = π, x = 2π.cos(x) - 1 = 0 Y cos(x) = 1 Y x = 0, x = 2π.Como los puntos de corte de la función diferencia con el eje de abscisas son el 0, π y 2π,y teniendo en cuenta la gráfica realizada, para calcular el área de la región dibujada lo haremosdesdoblándola en dos regiones:∫πÁrea = ( 2 2 ) ( 2 2 )0∫2πsen( x) − sen(x) dx + sen( x) − sen(x) dx =π= ⎡ 1− + ⎤ + ⎡ 1cos( 2x) 2cos( x) − cos( 2x) + 2cos( x)⎤⎣⎢ 2⎦⎥ ⎣⎢ 2⎦⎥0π2π1= − −⎛ 1cos( 2π) + 2 cos( π) ⎜ − cos( 0) + 2cos(0)⎞⎟ +2⎝ 2⎠1+ − −⎛ 1cos(4 π) + 2 cos(2 π) ⎜ − cos(2 π) + 2cos( π)⎞⎟ =2⎝ 2⎠1= − + − −⎛ 1⎜ − +⎞ 1⎟ + − + −⎛ 12( 1) 22 ⎜ − + 2( −1) ⎞⎟ = − 4 + 4 = 8 u. 22 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠π=SOLUCIÓN EJERCICIO 3.-Calculemos en primer lugar el centro de la circunferencia, resolviendo el sistema formadopor las ecuaciones de las dos rectas:2x− y = 4 ⎫x − 2y= −3⎬⎭⎛ 2 −1⎜⎝ 1 −2⎛ 2 −1⎜⎝ 0 −34 ⎞⎟−3⎠4 ⎞⎟−10⎠⎛ 6 0 22 ⎞⎜⎟⎝ 0 −3−10 ⎠Expresemos el sistema en forma matricial y resolvámoslo mediante elmétodo de reducción de Gauss - JordanTriangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 2 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - 2 · [1ªf.].Triangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = -3 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: 3 · [1ªf.] - [2ªf.].El sistema está diagonalizado, la solución es:6x = 22 ; -3y = -10, es decir, x = 11/3 ; y = 10/3Luego las coordenadas del centro de la circunferencia son:C = ⎛ ⎝ ⎜ 11 10,⎞⎟3 3 ⎠Calculemos ahora el radio, que coincidirá con la distancia del centro C a la recta tangentex - 3y + 3 = 0. Expresemos esta recta tangente en forma paramétrica, para ello resolveríamosun sistema de una ecuación con dos incógnitas, la solución serían las ecuaciones paramétricas,