Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 34 Pág. 125comportamiento de la función.Calculemos los límites laterales y el valor de la función en dicho punto, para ver si existeny coinciden.lim⎛ 1 ⎞ 1f ( x ) = lim ⎜ ⎟ = =⎝ 1−x ⎠ 1 − 0 1x→0 −x→0−x > 0⎛x→ 0+ x→ 0+⎝x < 0lim f ( x ) = lim ⎜1− mx − x2 = 1− 0− 0 = 1 ⇒ lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (0) =1f ( 0)= 1− 0− 0 = 1⎞⎠⎟⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎪x→0 − x→ 0+Luego f(x) será continua en el punto 0, para cualquier valor de m.En definitiva, la función f(x) es continua en ú, cualquiera que sea el valor de m.Estudiemos ahora la derivabilidad.Una función será derivable en un punto, si las derivadas laterales coinciden. Y para quelo sea en un intervalo lo ha de ser en todos los puntos del intervalo. Pero previamente debe sercontinua para poder ser derivable, ya que la no continuidad implica la no derivabilidad, pero ennuestro caso es continua para todo valor de m.- Para valores de x < 0, f al ser una función racional es derivable en ú salvo para el uno quees el valor que anula al denominador, pero este valor no pertenece al dominio que estamosconsiderando, luego la función es derivable para x < 0., siendo la derivada,1.2( 1− x)- Para valores de x > 0, f es derivable por ser una función polinómica, siendo la funciónderivada -m - 2x.Una primera aproximación de la función derivada, donde ya sabemos que es derivable es⎧ 1⎪ si x < 0f ′( x ) = 2⎨ ( 1−x)⎩⎪ −m − 2x si x > 0- El problema está en el punto 0.En el punto 0 será derivable, si las derivadas laterales coinciden.−1 1⎫f ′ ( 0 ) = lim == 1−x − x −⎪→0( 1 )2 ( 1 0 )2x⎪ ⎧ − +> 0⎪ f ′ (0 ) = f ′ (0 ) ⇒⎬ ⇒ ⎨+f ′ ( 0 ) = lim ( − m − 2x)= − m − 0 = − m ⎪ ⎩⎪ 1 = − m ⇒ m = − 1+x→0x < 0⎭⎪luego la función f(x) será derivable en x = 0 siempre y cuando m = -1.En definitiva f(x) será derivable en ú cuando m = -1.La función f(x) y su derivada serán:⎧ 1⎪si x < 0f ( x ) = ⎨ 1−x2⎩⎪ 1+x − x si x ≥ 0⎧ 1⎪si x < 0f ′( x ) = 2⎨ ( 1−x)⎩⎪ 1−2xsi x ≥ 0