Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 32 Pág. 103- El trozo de función para valores de x menores que 0, x < 0, es una función exponencial,que es continua en todo ú; luego la función g es continua para x < 0.- El trozo de función para valores de x mayores que 0, x > 0, es una función polinómica,y las funciones polinómicas son continuas en ú, luego la función g es continua para x > 0.- El problema de la continuidad está en el punto 0, donde hay un cambio en elcomportamiento de la función. Estudiemos la continuidad en el punto 0.Calculemos los límites laterales y el valor de la función en dicho punto, para ver si existeny coinciden.−x−0lim g( x ) = lim e = e = 1 ⎫−−x→0 x→0⎪x < 02⎪lim g( x ) = lim ( cx + d)= d ⎬ ⇒+ +x→0 x→0⎪x > 0−0⎪g(0)= e = 1⎭⎪⎧ lim g( x ) = lim g( x ) = g(0)⇒⎪− +x→0 x→0⎨⎪⎩d = 1Luego g(x) es continua en el punto 0 si d = 1.En definitiva, la función g(x) es continua en ú siempre que d = 1.Estudiemos ahora la derivabilidad.Una función será derivable en un punto, si las derivadas laterales coinciden. Y para quelo sea en un intervalo lo ha de ser en todos los puntos del intervalo. Pero previamente debe sercontinua para poder ser derivable, ya que la no continuidad implica la no derivabilidad; ennuestro caso se ha visto y demostrado que es continua en su dominio, siempre que d=1.- Para valores de x < 0, g es derivable por ser una función exponencial elemental, que esderivable en todo ú, siendo la función derivada, -e - x .- Para valores de x > 0, g es derivable, por ser una función polinómica, siendo la funciónderivada, 2c x.Una primera aproximación de la función derivada, donde ya sabemos que es derivable esg ′ x = ⎧ − −( ) e x si x⎨< 0⎩ 2cxsi x > 0- El problema está inicalmente en el punto 0.En el punto 0 será derivable, si las derivadas laterales coinciden ya que es continua endicho punto.−−x−0g ′ (0 ) = lim g( x ) = lim ( − e ) = − e = − 1 ⎫−−x→0 x→0⎪⎧ − 1 ≠ 0 ⇒⎪x < 0+⎬ ⇒ ⎨g ′ ( 0 ) = lim g( x ) = lim 2cx = 0− +−+⎪ f ′ ≠ f ′x→x→⎩⎪ ( 0 ) ( 0 )0 0x < 0⎭⎪luego la función g(x) no es derivable en x = 0.En consecuencia la gráfica de la función g(x) no admite recta tangente en el punto (0, 1),ya que no existe ningún valor de c que haga que las derivadas laterales en x = 0 coincidan, apesar de ser continua en dicho punto para d = 1.