Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 128SOLUCIÓN EJERCICIO 4.-(a) Teniendo en cuenta que el OX tiene por ecuaciones, y=0 y z=0. El punto de corte delplano 2x + y + 2z - 4 = 0 con dicho eje es:2x + y + 2z= 4 ⎫⎪y = 0 ⎬ ⇒z = 0 ⎭⎪2x= 4 ⇒ x = 2 ⇒ A (2, 0, 0)Con el eje OY es:2x + y + 2z= 4 ⎫⎪x = 0 ⎬ ⇒z = 0 ⎭⎪y = 4 ⇒ B (0, 4, 0)Con el eje OZ es:2x + y + 2z= 4 ⎫⎪x = 0 ⎬ ⇒ 2z= 4 ⇒ z = 2 ⇒ C (0, 0, 2)y = 0 ⎭⎪Calculemos las coordenadas de los siguientes vectores:→AB = (0, 4, 0) − (2, 0, 0) = ( −2, 4, 0)→AC = (0, 0, 2) − (2, 0, 0) = ( −2, 0, 2)EL área del triángulo ABC es:∆ 1 → → 11 ⎛ 4 0 −2 0ABC = AB × AC = ( − 2, 4, 0) × ( − 2, 0, 2) = • ⎜, − ,222 ⎝ 0 2 −2 211 2 2 2 1= • (8, 4, 8) = • 8 + 4 + 8 = • 144 = 6 u 2 .222−2 4 ⎞−2 0⎟⎠=(b) Expresemos la ecuación del plano, 2x + y + 2z - 4 = 0, en forma paramétrica, para ellobasta despejar una de las incógnitas, por ejemplo, la y, en función de las demás, y = 4 -2x -2z;y, por último, las incógnitas del segundo miembro se sustituyen por parámetros:⎧ x = λ⎪π ≡ ⎨ y = 4 − 2λ − 2µ⎩⎪ z = µUn punto genérico, H, del plano π tendrá de coordenadas:H = (λ, 4-2λ-2µ, µ)Si O es el origen de coordenadas, el vector OH →tiene de coordenadas:OH → = ( λ, 4 − 2λ − 2µ , µ ) − (0 , 0, 0 ) = ( λ , 4 − 2λ − 2µ, µ )este vector verifica la condición de ser perpendicular a los dos vectores, u y vdel plano, es decir:→ r → r ⎫OH ⊥ u ⇒ OH • u = 0 ⎪ ( λ, 4 − 2λ − 2µ , µ ) •(1, − 2, 0) = 0 ⎫→→⎬ ⇒( − − ) •(0, − , ) =⎬r rλ, 4 2λ 2µ , µ 2 1 0OH ⊥ v ⇒ OH•v = 0 ⎪⎭⎭⇒→→, de dirección