Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 31 Pág. 7373+ 6λ − 4 + 12λ − 1 = −4 − 8λ − 6 + 6λ + 1 ⇒ 20λ = −7⇒ λ = −20Luego otro punto de la recta que esté a igual distancia de ambos planos será el⎛Q 1 2 7 1 3 7 7 ⎞ 3 41 27⎜ − − − − 2 − 2Q⎝ 20 20 20⎠⎟ ⇒ ⎛10− 20− ⎞• , • , • ⎜ , , ⎟⎝10 ⎠SOLUCIÓN EJERCICIO 4.-(a) Expresemos el sistema en forma matricial para discutirlo mediante el método dereducción de Gauss.⎛ b 1 b −2⎞⎜⎟ Intercambiemos entre sí las filas 1ª y 3ª.⎜ 0 b 1 0 ⎟⎜⎝ 1 b 1 −2⎟⎠⎛ 1 b 1⎜⎜ 0 b 1⎜⎝ b 1 b−2⎞⎟0 ⎟−2⎟⎠⎛ 1 b 1 −2⎞⎜⎟⎜ 0 b 1 0 ⎟⎜ 2⎝ 0 1− b 0 − 2 + 2b⎟⎠( x) ( z) ( y)Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 1 … 0.Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] - b · [1ªf.]Intercambiemos entre sí las columnas 2ª y 3ª, es decir, la de loscoeficientes de la y y de la zEl sistema está triangulado inferiormente, pero no todos loselementos de la diagonal principal son distintos de cero.El coeficiente a 33 puede serlo o no. Analicemos los casos quepueden presentarse:⎛ 1 1 b −2⎞⎜⎟⎜ 0 1 b 0 ⎟⎜2⎝ 0 0 1−b − 2 + 2b⎟⎠1* a 33 = 0 Y 1 - b 2 = 0 Y b =−1** Si b = 1 Y La 3ª ecuación es 0 = 0, es decir, trivial; la eliminamos. Nos quedaun sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, se trata de un sistema compatibleindeterminado uniparamétrico.** Si b = -1 Y La 3ª ecuación es 0 = -4, es decir, absurda. El sistema es unsistema incompatible, no tiene solución.* a 33 … 0 Y b … 1 y b … -1 Y El sistema es un sistema de tres ecuaciones y tresincógnitas, es por tanto un sistema compatible determinado.(b) Resolvamos el sistema para el valor de b = 1, que es cuando es compatibleindeterminado uniparamétrico.( x) ( z) ( y) ( x) ( z) ( y) ( x) ( z) ( y)⎛1 1 b⎜0 1 b⎜⎝0 0 1−b2−2⎞⎟0− 2 + 2b⎟⎠⇒⎛1 1 1⎜0 1 1⎜⎝0 0 0−2⎞⎟00⎟⎠⇒⎛ 1 1 1⎜⎝0 1 1−2⎞⎟0⎠