Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 1261(b) Calculemos la siguiente integral definida.2( 1 ) [ Ln 1 ]f x dxx dx x x dx x 0 ⎡x 2 31x x ⎤( ) =+ + − = − − + + −∫ ∫ − ∫⎢⎥ =1−1⎣2 3⎦−10−1102 31( ) ( )= −Ln 1− 0 − − Ln 1+ 1 + 1+ 1 − − 0 + 0 − 0 = − Ln (1) + Ln (2) + 1+ 1 1− = Ln (2) +2 32 31076SOLUCIÓN EJERCICIO 2.-Construimos la función área, que a su vez es lasuma de las áreas de la circunferencia y del cuadrado.22 xx xA( x ) = r +⎛ 1−⎜⎞2 1π ⎟ ⇒ A( x ) = π r + + − 2⎝ 4 ⎠16Expresemos el radio de la circunferencia en función de la longitud de la misma:xx = 2πr ⇒ r =2 πsustituyamos este valor de r en la función área:2 2 2x x xx x xx x xA( x ) = ⎛ A( x ) A( x )⎝ ⎜ ⎞ 1⎟ + + − 21⇒ = + + − 21ππ ⇒ = + + − 22π⎠ 16 4 π2 16 4 π 16El dominio de esta función es el intervalo abierto (0, 1); se trata de una función cuadrática(aunque no esté ordenada perfectamente), y por tanto es continua y derivable en su dominio.Calculemos el mínimo absoluto de esta función, que coincidirá con el vértice de la parábolaya que el coeficiente de x 2 es positivo, y siempre que ese mínimo pertenezca al dominio.2x2x− 2x xA′ ( x ) = + ⇒ A′ ( x ) = + − 14π16 2π8x x 1 4x πxππ+ − + −= 0 ⇒= 0 ⇒ 4x + πx − π = 0 ⇒ ( 4 + π)x = π ⇒ x =2π88π4 + πEste valor de x pertenece al dominio, luego es el mínimo absoluto tal como hemosjustificado anteriormente.Comprobemos que para este valor de x que hace mínima la suma de las áreas, el lado delcuadrado es doble que el radio de la circunferencia:radio de la circunferencia = r = xπ4 1= + π =2π2π2(4 + π)lado del cuadrado = 1 π− x1− 4 44 1= + π + π − π= = =4 4 4(4 + π) 4(4 + π) 4 + π2xxr1 - x1 - x2 2 2como puede observarse, el radio es la mitad del lado, o bien, el lado es doble que el radio.4SOLUCIÓN EJERCICIO 3.-Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones dado en forma matricial:A X = -A X + Bsumemos a los dos miembros la matriz A X