Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 34 Pág. 133El punto medio, M (a, b, c), del segmento que determinan A y B es:⎧ a − 3 = 1− a ⇒ a = 2→ →⎪AM = MB ⇒ ( a, b, c) − ( 3, 0, − 2) = ( 1, 2, 0) − ( a, b,c)⇒ ⎨ b − 0 = 2 − b ⇒ b = 1⎩⎪ c + 2 = 0 − c ⇒ c = −1luego el punto M tiene de coordenadas (2, 1, -1).El vector normal al plano mediador será:r →n = AB = ( 1, 2, 0) − (3, 0, − 2) = ( −2, 2,2)Sustituyamos los coeficientes A, B y C de la ecuación general del plano mediador por lascoordenadas del vector normal a dicho plano:Ax + By + Cz + D = 0 Y -2x + 2y + 2z + D = 0Este plano al pasar por el punto M(2, 1, -1), verificará lo siguiente:-2·2 + 2·1 + 2(-1) + D = 0 Y -4 + 2 -2 + D = 0 Y D = 4luego la ecuación del plano mediador es: -2x + 2y + 2z + 4 = 0.La intersección de este plano mediador con el que nos da el problema nos permitirá conocerlos puntos de este plano que equidistan de A y B. Resolvamos el sistema formado por lasecuaciones de ambos planos.− 2x + 2y + 2z+ 4 = 0 ⎫⎬2x − y + 2z− 1 = 0 ⎭⎛ −2 2 2 −4⎞⎜⎝ 2 −1 2 1⎟⎠⎛ −2 2 2⎜⎝ 0 1 4⎛ 1 −1 −1⎜⎝0 1 4−4⎞−3⎟⎠2 ⎞−3⎟⎠ecuaciones y tres incógnitas, nos sobra una, por lo que el sistemaes un sistema compatible indeterminado uniparamétrico, es decir los dos planos se cortan en unarecta. Por tanto, los puntos del plano 2x - y + 2z -1 = 0 que equidistan de A y B representana una recta que vamos a determinarla en forma paramétrica. La incógnita que nos sobra, la z, lapasamos al segundo miembro como incógnita no principal o secundaria.⎛ 1 − 1 2 + z ⎞⎜⎝ 0 1 −3−4z⎟⎠⎛⎜⎝1 00 1−1−3z⎞−3−4z⎟⎠Resolvamos el sistema mediante el método de reducción deGauss-Jordan. Expresemos dicho sistema en forma matricial.Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = -2 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] + [1ªf.]Simplifiquemos la 1ª fila por -2El sistema está triangulado inferiormente, todos los elementos dela diagonal principal son distintos de cero, es un sistema de dosTriangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = 1 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] + [2ªf.]La solución es: x = -1-3z ; y = -3-4z.Sustituyamos la incógnita secundaria, la z, por el parámetro t,tendremos finalmente la ecuación de la recta en paramétricas:⎧ x = −1−3t⎪r ≡ ⎨ y = −3−4t⎩⎪ z = t