Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 29 Pág. 55⎛ 1⎜⎝ 03+2m⎞4 − 2 2 ⎟m ⎠El sistema está triangulado inferiormente. La última ecuación ha de sertrivial, 0=0, para que el sistema sea compatible, es decir, para quepodamos obtener un valor para λ; y deducir que los dos vectores sonlinealmente dependientes. Para ello se ha cumplir que 4 - 2 m 2 = 0 Ym = 2 ; m = − 2SOLUCIONES Opción BSOLUCIÓN EJERCICIO 1.-Una función polinómica de grado tres tendrá el siguiente aspecto:f (x) = a x 3 + b x 2 + c x + dTendremos en cuenta que las funciones polinómicas son continuas y derivables en todo ú.Si el punto P(1, 1) es un punto de su gráfica, se verificará:1 = a + b + c + d [1]Si en el punto P(1, 1) la función alcanza un máximo:f ´(x) = 3 a x 2 + 2 b x + c Y f ´(1) = 3 a + 2 b + c Y 0 = 3 a + 2 b + c [2]f ´´(x) = 6 a x + 2 b Y f ´´(1) = 6 a + 2 b Y 6 a + 2 b < 0 [3]Si la recta y = x es tangente a la gráfica de f(x) en el punto x = 0, se verificará:* que el punto (0, 0) es un punto de la gráfica, y por tanto:f (x) = a x 3 + b x 2 + c x + d Y 0 = d [4]* que la pendiente de la recta tangente, 1, es igual a la f ´(0), y por tanto:f ´(x) = 3 a x 2 + 2 b x + c Y f ´(0) = c Y 1 = c [5]Resolvamos el sistema formado por las condiciones [1], [2], [4] y [5], pero previamentesustituiremos las incógnitas que ya conocemos, d=0 y c=1, en las demás ecuaciones, nosquedará este sistema:a + b + 1+ 0 = 1⎫a b⎬a + b + = ⎭ ⇒ + = 0 ⎫⎬3 2 1 0 3a+ 2b= −1⎭⎛ 1 1⎜⎝ 3 20 ⎞⎟−1⎠⎛ 1 1 0 ⎞⎜ ⎟⎝ 0 −1−1⎠⎛ 1 0⎜⎝ 0 −1−1⎞⎟−1⎠Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 1 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - 3 · [1ªf.]Triangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = -1 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] + [2ªf.]La solución del sistema es:a = -1 ; b = 1La función polinómica de grado tres es: f (x) = - x 3 + x 2 + xExpresemos el sistema en forma matricial yresolvámoslo por el método de Gauss - Jordan.