Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 33 Pág. 117Comprobemos que A -1 = A t 2 2, en el 2º caso, es decir, cuando a = − y b = .2 2Calculemos a inversa de A, A -1 , mediante el método de Gauss, consistente en poner a laderecha de la matriz A, la matriz unidad e intentar que aparezca, mediante el uso de diversastransformaciones elementales, la matriz unidad a la izquierda, la parte que quede a la derechaes la matriz inversa de A, A -1 .⎛⎜ −⎜⎜⎜⎜⎝2 202 20 −1 022022⎛ 2 2⎜ − 0⎜ 2 2⎜ 0 −1 0⎜⎜ 0 0 2⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎝2 0 00 −1 00 0 2⎛⎜1 0 0⎜⎜0 1 0⎜⎜0 0 1⎝⎞1 0 0 ⎟⎟0 1 0 ⎟⎟0 0 1 ⎟⎠⎞1 0 0 ⎟⎟0 1 0 ⎟⎟1 0 1 ⎟⎠−1 0 1 ⎞⎟0 1 0⎟⎟⎟1 0 1 ⎠1 1− 02 20 −1 012012⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠YDiagonalicemos.Tomemos como pivote el elemento a 11 = − 2 … 0.2Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] + [1ªf.]Tomemos como pivote el elemento a 33 = 2 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: -2 · [1ªf.] + [3ªf.]Dividamos la 1ª fila por 2Dividamos la 2ª fila por -1Dividamos la 3ª fila por 2⎛⎜1 0 0⎜⎜0 1 0⎜⎜0 0 1⎝2 2 ⎞− 0 ⎟2 2⎟0 −1 0 ⎟⎟2 202 2 ⎟⎠En la parte de la izquierda hemos obtenido la matriz unidad, por lo que la matriz A tieneinversa, siendo la matriz inversa la matriz que queda a la derecha, es decir:⎛ 2 2 ⎞⎜ − 0A -1 ⎜2 2⎟⎟= ⎜ 0 −1 0 ⎟⎜2 2⎟⎜ 0 ⎟⎝ 2 2 ⎠Calculemos la traspuesta de A:A =⎛⎜ −⎜⎜⎜⎜⎝2 202 20 −1 022022Como puede comprobarse A -1 = A t .⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠A t⇒ =⎛⎜ −⎜⎜⎜⎜⎝2 202 20 −1 022022⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠