Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 120(b) Calculemos la integral siguiente.212f ( x ) dx = ( x − 1) dx + x Ln( x)dx =∫ ∫ ∫001calculemos previamente la segunda integral, pero como integral indefinida, mediante el métodode integración por partes.x Ln( x)dx =∫u = Ln ( x) du = 1 x dx2xdv = x dx v = x dx =2continuando en [2]∫∫2 2 2 2 2xx 1= x − = − = −x dx x 1 x 1 xLn( ) Ln( x) x dx Ln( x)2 2 2 2 2 2 2sustituyendo este resultado en [1], tendremos:1⎡ 2 ⎤ ⎡ 2 2x x x ⎤= ⎢ − ⎥ + ⎢ −⎣ ⎦ ⎣⎦⎥ = 1− − + ⎛ 2⎜⎝− 2 ⎞ ⎛ 1x Ln( x) 1 0 Ln( 2) ⎟ − ⎜ Ln(1) −2 2 4 22 4 ⎠ ⎝ 20115= − + 2 Ln( 2) − 1− 0 + = 2 Ln( 2)−24421∫2 2 2 2 2.14[1][2]⎞⎟ =⎠SOLUCIÓN EJERCICIO 2.-Si la segunda derivada de la función f es 3, se verificará que:∫f ′ ( x ) = f ′ ′ ( x ) dx = 3 dx = 3 x + bComo la recta tangente en x = 1, es 5x - y - 3 = 0, o lo que es lo mismo, y = 5x - 3,significa que la pendiente de la recta tangente, m=5, coincide con la derivada de la función enel punto 1, f ´(1) = m = 5, esto implica que:f ´(1) = 3·1 + b Y 5 = 3 + b Y b = 2.Sustituyendo este valor de b en [1], tendremos:f ´(x) = 3x + 2Obtengamos ahora la función f(x).xf ( x ) = ( x + ) dx = + x + c∫ 3 2 2232Teniendo en cuenta que el punto de tangencia, T, tiene de abscisa x = 1, la ordenada será:y = 5x - 3 Y y = 5·1 - 3 Y y = 2 Y T(1, 2)Este punto pertenece a la función f(x), sus coordenadas satisfacerán la función, es decir:223x3•133f ( x ) = + 2x + c ⇒ f (1) = + 2•1+ c ⇒ 2 = + 2 + c ⇒ c = −2222∫[1]