Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 122SOLUCIÓN EJERCICIO 4.-(a) Expresemos la ecuación de la recta r en forma paramétrica. Para ello resolveremos elsistema formado por las ecuaciones de la recta que viene dada como intersección de dos planos.⎧3x+ 2y= 0 Expresamos el sistema en forma matricial y lo resolvemos mediante elr ≡ ⎨⎩ 3x+ z = 0 método de reducción de Gauss - Jordan.⎛ 3 2 0⎜⎝ 3 0 10 ⎞⎟0 ⎠⎛ 3 2 0 0 ⎞⎜⎟⎝ 0 −2 1 0 ⎠⎛ 3 2⎜⎝ 0 −20 ⎞⎟−z⎠Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 3 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - [1ªf.].El sistema está triangulado, nos sobra una incógnita, la z, la pasamos alsegundo miembro como incógnita no principal o secundaria.Triangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = -2 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] + [2ªf.].⎛ 3 0 −z⎞ El sistema está diagonalizado, la solución es:⎜⎟⎝ 0 −2−z⎠3x = -z ; -2y = -zterminemos de despejar las incógnitas, y a la incógnita secundaria, z, designémosla como unparámetro t.⎧ x1= − t3⎪⎨1y = t⎪ 2⎩⎪z = tUn punto H genérico de la recta tendrá de coordenadas⎛ 1 1⎜ − t, t,t⎞⎟ . Calculemos qué⎝ 3 2 ⎠puntos H son los que su distancia a O(0, 0, 0) es de 7 unidades.dist (O,H) =2 22 2⎛ 1⎜ − −⎞⎝( )3 ⎠⎟ + ⎛ 1⎜⎝− ⎞2 t t 2t 0 t 0⎟ + t − 0 = 7 ⇒ + + t = 49 ⇒2 ⎠9 42 2 2 24t + 9t + 36t 49t2 ⎧ t 6= 49 ⇒ = 49 ⇒ t = 36 ⇒3636⎨= ⎩ t = −6⎛⎝luego obtenemos dos puntos: H 1 = ⎜ − t,t, t ⎟ = ⎜ − , , ⎟ = ( − , , )⎛⎝13131212⎞⎠⎞⎠⎛ ⎝⎛⎝63636 ⎞2 6 ⎠2 3 662H 2 = ⎜ − t, t, t ⎟ = ⎜ − − , − , − 6⎟ = ( 2, − 3,− 6)⎞⎠(b) Si el plano es perpendicular a r, el vector de dirección de r es el normal al plano,Sustituyamos los coeficientes A, B y C de la ecuación general del plano por lascoordenadas del vector normal a dicho plano:1 1Ax + By + Cz + D = 0 Y − x + y + z + D = 03 2Este plano al pasar por el punto P(1, 2, -1), verificará lo siguiente:1 11− + + + = 0 ⇒ − + − + = ⇒ = ⇒ − + + = −3 23 1 1 2 2 1 0 1 1 1 1x y z D • • D D x y z3 3 2 3