Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 138- Asíntotas horizontales.Para que exista asíntota horizontal se ha de satisfacer que:Comprobemos si existe.22xxlimlimx→±∞x − = ⎡ ∞ ⎤⎣⎢ ∞ ⎦⎥ = 41= ∞x→±∞1Ylim f ( x ) = b ∈úx→± ∞No existe asíntota horizontal.La indeterminación de infinito partido por infinito se ha destruido aplicando la Regla deL´Hôpital, que consiste en derivar el numerador y el denominador independientemente el unodel otro.No existe asíntota horizontal, pero se da la condición necesaria para que pueda existirasíntota oblicua.- Asíntotas Oblicuas.Calculemos la ecuación de la posible asíntota oblicua: y = mx + n. Comencemos obteniendoel valor de m y después el de la n:22x2 2f ( x )m = lim lim xxx= − 1 22= lim = limx→∞ x x→∞ x x→∞ x ( x − ) x→∞x 2= 21− xCalculemos ahora n:2 2 2n= lim( f ( x ) ⎛ 2xx x x x− mx)= lim lim limx x xx→ ∞ → ∞ −− ⎞− +⎜⎝ 1 2 2 2 2 2⎟ =⎠ x→ ∞ x − 1=x→ ∞ x − 1 = 2La asíntota oblicua, es: y = 2 x + 2.Estudiemos la posición de la gráfica de f respecto de la asíntota oblicua.* Para valores de x muy grandes, por ejemplo, x = 1000 Y2f (1000) =2•1000= 2002′0020021000 − 1⎫⎪2•1000 + 2 = 2002 ⎬ ⇒ f (1000) > yy asíntotaasíntota =⎭⎪luego la gráfica de f, para x 6 +4, va por encima de la asíntota oblicua.* Para valores de x muy pequeños, por ejemplo, x = -1000 Y2f (-1000) =2•( −1000)−1000 − 11= − 1998001998 ′ ⎫⎪2•( − 1000)+ 2 = −1998⎬ ⇒ f (-1000) < y asíntotay asíntota =⎭⎪luego la gráfica de f, para x 6 -4, va por debajo de la asíntota oblicua.(b) Determinemos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Hallemos losvalores que anulen a la función primera derivada de f(x).224x( x − 1)− 2x2x− 4x2⎧ xf ′( x) =⇒ f ′( x)=⇒ x − x = ⇒ x x − ⇒ ⎨= 022 2 4 0 2 ( 2)( x − 1)( x − 1)⎩ x = 2Con estos dos puntos, 0 y 2, y con el punto donde la función no existe, 1, los ordenamosy construimos los posibles intervalos de monotonía: (-4, 0), (0, 1), (1, 2) y (2, +4).