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Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 32 Pág. 107Busquemos la relación existente entre la x y la y, es decir, la condición quenos da el problema y es que el área es 2:2π x2 x y + = 2 . Despejemos y en función de la x22π x2 −2xy = 24 − π⇒ y = Sustituyamos este valor de y en [1]2x4 x2 2− x− x2 xP( x ) = 2x+ 2 4 π4 π+ πx ⇒ P( x ) = 2x+ + πx4x2xCalculemos el dominio de esa función. De entrada, los valores de x tendrán que sermayores que cero, es decir, estrictamente positivos. Pero como los valores que puede tomar yson también mayores que cero, observando la relación entre x e y, deducimos que 4 - π x 2también tiene que ser mayor que cero, luego:2 2 2 4 4 44 − π x > 0 ⇒ − π x > −4⇒ x < ⇒ − < x 0⎛ 4 4 ⎞2Y Creciente en ⎜ , .2•1⎝ 4 + π π⎟⎠2xy
L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 108A la vista de todo lo anterior, el valor que anulaba a la primera derivada no sólo es mínimorelativo sino también mínimo absoluto. En definitiva las dimensiones de la puerta son:42 4 + π* Radio del semicírculo, x = ⇒ x =4 + π4 + π* Base del rectángulo,42x= 2•4 + π4 − π x* Altura del rectángulo, y =4 x24 4 + π⇒ 2x=4 + π⎛4 − π ⎜⎝⇒ y =424 ⎞4 + π⎟⎠44 + π4 −4π⇒ y = 4 + π444 + π16y = 4 + π2 4 + π⇒ y =84 + π4 + πLa longitud del radio del semicírculo y la de la altura del rectángulo es la misma. La basedel rectángulo es doble que la altura del mismo.⇒SOLUCIÓN EJERCICIO 3.-(a) Calculemos, en primer lugar, el determinante de la matriz A1 0 −21 1 11 1 0= 0 + 0 − 2 − ( − 2 + 1+ 0) = −1Calculemos ahora el determinante de la matriz 2A.2A = 2 3 • A = 8•( −1) = −8El resultado anterior está basado en la propiedad de la multiplicación de un número por unamatriz, que dice: “que para multiplicar una matriz por un número hay que multiplicar todoslos elementos de la matriz por dicho número”; y en la propiedad de la multiplicación de unnúmero por un determinante que dice: “si multiplicamos los elementos de una fila o columnade un determinante por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número” ,o bien “que para multiplicar un determinante por un número basta multiplicar una fila o unacolumna del determinante por dicho número”. Por tanto, al multiplicar por 2 la matriz cuadradaA, de orden tres, todos los elementos de A quedan multiplicados por 2, esto implica que en eldeterminante asociado correspondiente lo que realmente hemos hecho es multiplicar por doslas tres filas o columnas del mismo con lo que el determinante queda multiplicado por 2 3 .Calculemos ahora el determinante de la matriz A 31 .A31 31 31= A = − 1 = −1( )El resultado anterior está basado en la siguiente propiedad: “el determinante de unproducto de matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de cada una de lasmatrices”. En este caso al ¨tratarse de la misma matriz, la propiedad se transforma en esta otra:“el determinante de la potencia de una matriz es igual al determinante de la matriz elevado adicha potencia”.
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