Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 35 Pág. 143⎛ 1 −3 −2⎞ Tomemos como pivote el elemento a 22 = 2 … 0.⎜ 0 2 a ⎟⎜⎟ Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] - (2a-2) · [2ªf.]⎝ 0 4a− 2 − 1+2a⎠La matriz está triangulada inferiormente. Todos los elementos de⎛ 1 −3 −2⎞⎜ 0 2 a ⎟ la diagonal principal son distintos de cero, salvo el a 33 que puede⎜0 0 2 2 ⎟⎝ − a + 3a− 1⎠serlo. Estudiemos los casos que pueden presentarse.* Si a 33 = 0 Y -2 a 2 + 3a - 1 = 0 Y a = − ± − = − ± = ⎧ Y− −⎨ ⎪ 13 9 8 3 124 4⎩ ⎪ 11para estos dos valores de a, 1 y , la última fila sería una fila de ceros, y la matriz A tendría2de rango dos, R(A) = 2.1* Si a 33 … 0 Y a … 1 y a … Y para cualquier valor de a distinto de 121y de , todos los elementos de la diagonal principal son distintos de cero, y la matriz A tendrá2de rango tres, R(A) = 3.(b) Discutamos el siguiente sistema, según los valores de a.⎛ 1 −2 −3⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜ 0 a 2 ⎟ · ⎜ y ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟⎜ ⎟⎝ a −1 a − 2 ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ 1 ⎠⎛ 1 −2 −3⎜0 a 2⎜⎝ a −1 a − 21 ⎞0⎟⎟1 ⎠⎛ 1 −2 −31 ⎞⎜0 a 2 0⎟⎜⎟⎝ 0 − 1+ 2a 4a − 2 1−a ⎠( x) ( z) ( y)⎛ 1 −3 −21 ⎞⎜ 0 2 a 0 ⎟⎜⎟⎝ 0 4a − 2 2a − 1 1−a ⎠( x) ( z) ( y)⎛ 1 −3 −21 ⎞⎜ 0 2 a 0 ⎟⎜2⎟⎝ 0 0 − 2a + 3a − 1 1−a ⎠Lo haremos mediante el método de reducción de Gauss.Expresemos el sistema en forma matricial.Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 1 … 0.Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] - a · [1ªf.]Intercambiemos entre sí las columnas 2ª y 3ª.Tomemos como pivote el elemento a 22 = 2 … 0.Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] - (2a-2) · [2ªf.]La matriz está triangulada inferiormente. Todos loselementos de la diagonal principal son distintos de cero,salvo el a 33 que puede serlo. Estudiemos los diferentescasos que pueden presentarse.* Si a 33 = 0 Y -2 a 2 + 3a - 1 = 0 Y a = − ± − = − ± = ⎧ − −⎨ ⎪ 13 9 8 3 124 4⎩ ⎪ 1