Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 28 Pág. 43Una función será derivable en un punto, si las derivadas laterales coinciden. Y para quelo sea en un intervalo lo ha de ser en todos los puntos del intervalo. Pero previamente debe sercontinua para poder ser derivable, ya que la no continuidad implica la no derivabilidad.- Para valores de x2, f es derivable, ya que la función derivada es + b2 , y estaxfunción no está definida para el valor cero, pero este valor no pertenece al dominio que estamosconsiderando.Una primera aproximación de la función derivada, donde ya sabemos que es derivable es⎧ a + 10xsi x < 2⎪f ′ ( x)= ⎨ − a + b si x > 22⎩⎪ x- El problema está en el punto 2.En el punto 2 será derivable, si las derivadas laterales coinciden y en este caso se debesatisfacer además la condición de continuidad [1].+⎛ − a ⎞ af ′ = ⎜ + b bx ⎝ x ⎠⎟ = − + ⎫( 2 ) lim⎪+ 2⎪ ⎧+ −→24f fx⎪′ ( 2 ) = ′ ( 2 ) ⇒> 2⎬ ⇒ ⎨ − a−f ′ ( 2 ) = lim ( a + 10x) = 20 + a ⎪ + b = 20 + a ⇒ 5a − 4b= 80 [ 2]⎩⎪ 4−x→2⎪x < 2⎭luego la función f(x) será derivable en x = 2 siempre y cuando se verifiquen las condiciones[1] y [2] simultáneamente, para lo cual resolveremos el sistema formado por ambas ecuaciones:5a− 4b= −803a− 4b= −40⎫ Expresemos el sistema en forma matricial y resolvámoslo mediante el⎬ ⎭ método de reducción de Gauss.⎛5 −4−80⎜⎝3 −4−40⎞ ⎠ ⎟ Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 5 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: 5 · [2ªf.] - 3 · [1ªf.]⎛5 −4⎜⎝0 −8⎛5 −4⎜⎝0 1−80⎞ ⎟40 ⎠−80− 5⎞ ⎠ ⎟Simplifiquemos la 2ª fila por -8Triangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = 1 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] + 4 · [2ªf.]⎛5 0⎜⎝0 1−100⎞ ⎟ − 5⎠El sistema está diagonalizado, la solución es:5a = -100 Y a = -20 ; b = -5.Para a = -20 y b = -5, la función será derivable en todo su dominio.La función derivada quedará finalmente, una vez sustituido a por -20 y b por -5, así:⎧ a + 10xsi x ≤ 2⎪f ′( x ) = ⎨ − a + b si x > 22⎩⎪ x