Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 33 Pág. 113===limx→0limx→0x→0e0 0( e − 1)sen(0) + cos(0) 1•0 + ( 1−1) •1== ⎡ 0−⎣ ⎢ ⎤23• 0 2 • 00 0 ⎦⎥ =x x x x( − 1)e sen( x) + e cos( x) + e cos( x) − e sen( x)=6x− 20 0 0 0( − )e sen(0) + e cos( 0) + e cos(0) − e 1 sen(0) 1• 0 + 1• 1+ 1•1− ( 1−1) • 0 2lim== = − 16•0 − 20 − 2− 20Las indeterminaciones de se han destruido utilizando la Regla de L´Hôpital, que0consiste en derivar el numerador y denominador independientemente el uno del otro.SOLUCIÓN EJERCICIO 2.-(a) Expresemos f(x) como una función a trozos, teniendo en cuenta la definición defunción valor absoluto:⎧⎪ ( x ) xf ( x ) = x − = − 2− 2− ≤21 si 1 01 ⎨2 2⎩⎪ x − 1 si x − 1 > 0Resolvamos las inecuaciones correspondientes a los dominios de cada trozo de función,para lo cual resolveremos, en primer lugar, la ecuación x 2 - 1 = 0. -1 121x − 1 = 0 ⇒ x =−1-2 0 2estos valores, -1 y 1, que anulan a la ecuación, los situamos ordenadamente en la recta real yconstruimos los posibles intervalos de solución, (-4, -1), (-1, 1) y (1, 4), elegimos valoresintermedios de los mismos, por ejemplo, -2, 0 y 2, y los probamos en las inecuaciones, viendoqué intervalos satisfacen a una u otra inecuación:Si x = -2 Y (-2) 2 -1 = 4-1 = 3 > 0 Y x 2 - 1 > 0, en (-4, -1)Si x = 0 Y 0 2 -1 = 0-1 = -1 < 0 Y x 2 - 1 > 0, en (-1, 1)Si x = 2 Y 2 2 -1 = 4-1 = 3 > 0 Y x 2 - 1 > 0, en (1, 4)A la vista de estos intervalos, podemos definir la función más correctamente en funciónde los mismos:⎧ 2x − 1 si x < −12⎪ 2f ( x ) = x − 1 = ⎨ − x + 1 si −1 ≤ x ≤ 1⎪2x − 1 si 1 < x⎩La gráfica de esta función coincide con la de la función cuadrática, x 2 -1, pero de maneraque la parte de la gráfica que quede por debajo del eje de abscisas, por simetría con respectoa este eje, la dibujaremos por encima.Representemos y = x 2 -1, cuya gráfica es una parábola.1.- Punto de corte con el eje de ordenadas: