Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 29 Pág. 53Se ha de verificar que el vector PH →que determinan estos dos puntos genéricos, ha de serperpendicular al vector de dirección de cada una de las rectas, y por tanto, los productosescalares respectivos serán cero:PH → = (4 − β, − 1 + 3β , 2β ) − (1+ α, 2 + α, 1 − 2α ) = (3 − β − α, − 3 + 3β − α,− 1 + 2β + 2α)→ r → r⎫PH ⊥ur⇒ PH • ur= 0 ⇒ ( 3− β − α, − 3+ 3β − α, − 1+ 2β + 2α) • ( 1, 1,− 2) = 0 ⎪→→⎬ ⇒r rPH ⊥vs⇒ PH • vs= 0 ⇒ ( 3− β − α, − 3+ 3β − α,− 1+ 2β + 2α) • ( −1, 3, 2) = 0 ⎭⎪3− β − α − 3+ 3β − α + 2 − 4β − 4α− 3+ β + α − 9 + 9β − 3α − 2 + 4β + 4α= 0= 0⎫ 6 2 2 3 1⎬⎭ ⇒ − α − β = − ⎫⎬2 + 14 = 14 ⎭ ⇒ − α − β = − ⎫⎬α βα + 7β= 7⎭ ⇒Expresemos el sistema de ecuaciones anterior en forma matricial:⎛⎜⎝⎛⎜⎝⎛⎜⎝⎛⎜⎝⎛⎜⎝−3 −1−1⎞1 7 7⎟⎠1 7 7 ⎞−3 −1−1⎟⎠1 70 201 70 11 00 17 ⎞20⎟⎠7 ⎞1⎟⎠0 ⎞1⎟⎠Resolvámoslo mediante el método de reducción de Gauss - Jordan.Intercambiemos entre sí las dos filas.Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 1 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] + 3 · [1ªf.]Simplifiquemos la 2ª fila por 20.Triangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = 1 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] - 7 · [2ªf.]El sistema está triangulado. La solución es:α = 0 ; β = 1La ecuación de la recta que se apoya perpendicularmente en r y s, es la recta que pasa porel punto, por ejemplo, el P; y tiene como vector de dirección el vector PH → , es decir:P(1+α, 2+α, 1-2α) Y P(1+0, 2+0, 1-2·0) Y P(1, 2, 1)PH → = (3 − β − α, − 3 + 3β − α, − 1 + 2β + 2α) = (3 − 1 − 0, − 3 + 3 − 0,− 1 + 2 + 0 ) = (2, 0, 1)⎧⎪x = 1+2λ⎨ y = 2⎩⎪ z = 1+λSOLUCIÓN EJERCICIO 4.-(a) Para hallar los valores de x e y que satisfagan A X = U, comprobamos si la matriz Atiene inversa, y si la tiene la calculamos.Lo haremos mediante el método de Gauss, que consiste en colocar a la derecha, porejemplo, de la matriz A la matriz unidad e intentar, mediante el uso de diversastransformaciones elementales, que aparezca la matriz unidad a la izquierda de A, la matriz quequeda a la derecha es la matriz inversa de A.