Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 102Calculemos los límites laterales y el valor de la función en dicho punto, para ver si existeny coinciden.−x−0lim f ( x ) = lim e = e = 1⎫−−x→0 x→0⎪lim f x lim f x f (0)x 0⎪⎩1−0f (0) = e = 1⎭⎪Luego f(x) es continua en el punto 0 si b = 1.En definitiva, la función f(x) es continua en ú siempre que b = 1.Estudiemos ahora la derivabilidad.Una función será derivable en un punto, si las derivadas laterales coinciden. Y para quelo sea en un intervalo lo ha de ser en todos los puntos del intervalo. Pero previamente debe sercontinua para poder ser derivable, ya que la no continuidad implica la no derivabilidad; ennuestro caso se ha visto y demostrado que es continua en su dominio, siempre que b=1.- Para valores de x < 0, f es derivable por ser una función exponencial elemental, que esderivable en todo ú, siendo la función derivada, -e - x .- Para valores de x > 0, f es derivable, por ser una función polinómica, siendo la funciónderivada, a.Una primera aproximación de la función derivada, donde ya sabemos que es derivable esf ′ x = ⎧ − −( ) e x si x⎨< 0⎩ a si x > 0- El problema está inicalmente en el punto 0.En el punto 0 será derivable, si las derivadas laterales coinciden ya que es continua endicho punto.−x( e )−−0f ′ (0 ) = lim f ( x ) = lim − = − e = − 1 ⎫−−x→0 x→0⎪⎧⎪x < 0+⎬ ⇒ ⎨f ′ ( 0 ) = lim f ( x ) = lim a = a−+⎪x→0 x→0⎩⎪x < 0⎭⎪luego la función f(x) es derivable en x = 0 si a = -1 y b = 1.La función derivada quedará finalmente así:− +f ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ⇒− 1 = a⎧f ′ x = − −( ) e x si x⎨≤ 0⎩ − 1 si x > 0En consecuencia la gráfica de la función f(x) admite recta tangente en el punto (0, 1), parael valor de a = -1 y b = 1.(b) Si la gráfica de g(x) admite recta tangente en (0, 1), es que es derivable en x = 0. Portanto previamente ha de ser continua. Veámoslo.Para que la función g sea continua en un punto, los límites laterales en dicho punto debencoincidir y además coincidir también con el valor de la función en ese punto. Y para que lo seaen un intervalo lo ha de ser en todos los puntos del intervalo.