Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 32 Pág. 105⎛ 1 0 0⎜ 0 3 0⎜⎝ 0 0 −1−1 1 −3⎞−12 6 −15⎟⎟2 −1 3 ⎠Simplifiquemos la 2ª fila por 3.Simplifiquemos la 3ª fila por -1.⎛⎜⎜⎝1 0 00 1 00 0 1−1 1 −3⎞−4 2 −5⎟⎟−2 1 −3⎠Calculemos, finalmente, la matriz X.X = 3• A-1En la parte de la izquierda hemos obtenido la matriz unidad,por lo que al no salirnos ninguna fila de ceros, la matriz Atiene inversa, siendo la matriz inversa la matriz que queda a laderecha, es decir:⎛ −1 1 −3⎞A -1 = ⎜ −4 2 −5⎟⎜⎟⎝ −2 1 −3⎠⎛ −1 1 −3⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 4 −5⎞ ⎛ 12 −15⎞B = 3• ⎜ −4 2 −5⎟⎜ −1 0 ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟ = 3•⎜ 4 −13⎟⎜ ⎟ = ⎜ 12 −39⎟⎜ ⎟⎝ −2 1 −3⎠⎝ −2 1 ⎠ ⎝ 3 −7⎠ ⎝ 9 −21⎠SOLUCIÓN EJERCICIO 4.-Para obtener el simétrico del punto A respecto de la recta r,A ( 0,-1,1 )A´(a, b, c), tendremos que calcular un punto H de la recta de talmanera que el vector AH →sea perpendicular al vector de dirección→ →rde la recta y además AH = HA′.HLa ecuación de la recta r en forma paramétrica es:⎧⎪x = 5 + 2tr ≡ ⎨ y = tA´⎩⎪ z = 2 + 3tEl punto genérico, H, tendrá de coordenadas H(5+2t, t, 2+3t) y el vector AH →:AH → = (5+ 2 t, t, 2 + 3 t ) − (0, − 1, 1) = (5+ 2 t, t + 1,1 + 3 t )Apliquemos la condición de que AH →es perpendicular al vector de dirección de la recta:→ → → →rrAH ⊥ v ⇒ AH• v = 0 ⇒ (5+ 2t, t +1, 1+ 3t) •(2, 1, 3) = 0 ⇒10 + 4t + t + 1+ 3+ 9t = 0 ⇒ 14t = −14 ⇒ t = −1Luego el vector AH →tendrá de coordenadas:AH (5+ 2 t, t + 1, 1 + 3 t ) = (5 2 , − 1 + 1,1 − 3) = (3, 0, 2)y el punto H:H (5+2t, t, 2+3t) Y H(5-2, -1, 2-3) Y H(3, -1, -1).→Impongamos la última condición AH = HA′⎧ 3 = a − 3 ⇒ a = 6⎪( 3, 0, − 2) = (a, b, c) − (3, − 1, − 1)⇒ ⎨ 0 = b + 1 ⇒ b = −1⇒ A ′ (6, − 1,− 3)⎩⎪ − 2 = c + 1 ⇒ c = −3→