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112 Chapitre 4. Implémentation du modèle des méthodes de différences finies ou à éléments finis, aboutissant toutes deux à un système d’équations linéaires [Radó, 1926, Kneser, 1926, Choquet, 1945]. En revanche, les méthodes harmoniques ne sont pas conformes et ne préservent pas les angles (figure 4.6). Fig. 4.6 – Projection harmonique ne conservant pas les angles. La figure du bas illustre la non conformité de ce type de projection [Floater and Hormann, 2005]. Le nombre de travaux et de techniques proposées concernant la paramétrisation de surfaces fermées témoigne de la complexité de ce problème. Le type de paramétrisation désirée est déterminant quant à la méthode utilisée. La déformation des surfaces originales devrait idéalement être minimale, afin de conserver au maximum les caractéristiques originales des données. L’avantage de créer un système de coordonnées sur la surface triangulée d’origine réside dans le fait que la géométrie de la surface reste intacte, et demeure accessible à tout instant, permettant ainsi un passage entre coordonnées et données géométriques originales. 4.2.2 Création d’un système de coordonnées sphériques Nous proposons ici la création d’un système de coordonnées directement sur la surface corticale concernée, sans aucune déformation ni de la surface corticale d’origine, ni d’une surface paramétrée, comme une sphère, vers le cortex. Cela nous permet d’avoir accès aux informations géométriques originales du maillage. La problématique du choix du système de coordonnées est dirigée par le type de données traitées. Dans le cas de l’étude du cortex, la topologie globale de la surface corticale d’un hémisphère cérébral est sphérique
4.2. Paramétrisation du cortex 113 [Van Essen and Drury, 1997, Fischl et al., 1999a, Toro and Burnod, 2003] (figure 4.1). De plus, le modèle d’organisation de l’anatomie corticale sur lequel nous basons nos travaux propose une organisation naturelle des structures corticales en un système orthogonal, autour de deux pôles (modèle détaillé dans le chapitre III). Ces considérations nous ont naturellement ammenés à nous tourner vers la définition d’un système de coordonnées sphériques. Les deux axes de l’organisation corticale permettent de définir des méridiens et des parallèles, organisés orthogonalement autour de deux pôles naturels anatomiques, le pôle insulaire, défini par l’insula et le pôle cingulaire, défini par la zone du corps calleux et limitée par la séparation entre le corps calleux et le néocortex. La création du système de coordonnées est détaillée dans la partie 4.4.6. La méthode utilisée repose sur l’interpolation des coordonnées sur la surface triangulée, entre les contraintes définies par les marqueurs anatomiques extraits du modèle anatomique utilisé. Cette interpolation est inspirée de la méthode de paramétrisation de surface fermée proposées dans [Brechbuhler et al., 1995], où une implémentation discrète de l’équation de la chaleur permet de définir des coordonnées 2D sur une surface (longitude et latitude) autour de 2 pôles et d’un méridien d’origine (figure 4.7). Un tel type de paramétrisation permet également une isométrie naturelle vers une sphère, offrant des possibilités de représentations sphériques du cortex à partir d’une paramétrisation définie sur la surface corticale originale. Fig. 4.7 – Exemple de paramétrisation 2D en utilisant l’équation de la chaleur autour de deux pôles. a) latitude, b) longitude [Brechbuhler et al., 1995].
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