traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

8
Chapitre 2 - Traitement d’images par modèles
discrets sur graphes
Après un survol des techniques usuelles d’ordre de données vectorielles, nous présentons
leurs avantages et défauts dans un but de filtrage d’image (médian ou morphologique). Nous
proposons ensuite deux ordres de données vectorielles qui pallient les défauts des ordres de la
littérature. Le premier ordre proposé consiste à construire un chemin Hamiltonien sur un graphe
complet construit sur la fenêtre d’analyse du filtrage. Le second ordre est basé sur une réduction
de dimension par marches aléatoires sur graphe.
2.2.1 Ordres de données vectorielles
Pour traiter des données multivariées telles que des vecteurs couleur (qui ne sont pas forcément
de dimension 3 comme nous le verrons plus loin), les trois principaux ordres de données
vectorielles sont le pré-ordre, l’ordre partiel et l’ordre total. Avant la description de ces ordres,
nous rappelons les définitions essentielles des relations utiles pour caractériser un ordre de données
vectorielles [HANBUR02, VERTAN96, 45].
Definition 1. Soit R une relation binaire définie sur un ensemble donné A.
– R est réflexive si ∀x ∈ A, xRx,
– R est transitive si ∀x, y, z ∈ A, xRy et yRz ⇒ xRz,
– R est anti-symétrique si ∀x, y ∈ A, xRy et yRx ⇒ x = y.
Definition 2. Une relation binaire R sur un ensemble A est un pré-ordre si R est réflexive et
transitive.
Definition 3. Une relation binaire R sur un ensemble A est un ordre partiel si R est réflexive,
transitive et anti-symétrique.
Definition 4. Une relation binaire R sur un ensemble A est un ordre total si R est un ordre
partiel et si ∀x, y ∈ A, xRy ou yRx.
Un ordre complet sur un ensemble A est un ordre où n’importe quelle paire de vecteurs peut
être ordonnée (par exemple la relation binaire ≤ sur R).
Une image multivariée peut être représentée par une projection Z l → R p où l est la dimension
de l’image et p le nombre de composantes de l’image multivariée. Soit F = {x k ∈ Z l ; k =
1, 2, . . . , N} une fenêtre de filtrage de taille N centrée sur x 1 . A partir de F , nous obtenons un
ensemble {x 1 , x 2 , . . . , x N } de N vecteurs de dimension p : x i = {x 1 i , x 2 i , . . . , x p i }, x i ∈ R p . Une
façon classique de définir une relation d’ordre entre des vecteurs est d’utiliser une transformation
[GOUTSI95] h de R p dans R q suivie de l’ordre naturel sur chaque dimension de l’espace R q .
Avec h : R p → R q , et x → h(x) alors ∀(x i , x j ) ∈ R p × R p , x i ≤ x j ⇔ h(x i ) ≤ h(x j ). Quand
h est bijective, cela correspond à définir une courbe de remplissage de l’espace qui passe une et
une seule fois par tout point de l’espace R p et qui induit donc un ordre complet. A partir de ces
définitions, nous pouvons définir une taxonomie [BARNET76] des différents types d’ordres de
données vectorielles (i.e. multivariées). Les différents ordres que nous présentons sont l’ordre
marginal, l’ordre réduit et l’ordre conditionnel. Nous rappelons ici leurs principes.
– Dans l’ordre marginal, les vecteurs sont ordonnés indépendamment dans chaque dimension
(q = p, h = Identité). Cet ordre est un ordre partiel et il est admis que ce type d’ordre
n’est pas satisfaisant car il peut produire des nouveaux vecteurs qui n’appartiennent pas à
l’ensemble initial [LAMBER02, LUKAC05].