traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

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52 Chapitre 2 - Traitement d’images par modèles discrets sur graphes d’obtenir une version simplifiée mais proche de l’histogramme original : H (2) = ψ(ϕ β (H), H) où ψ désigne la reconstruction. Les clusters dominants sont déterminés par le calcul des érodés ultimes : H e = ζ(H (2) ) où ζ désigne l’extraction de l’ensemble des érodés ultimes. Ceci permet d’extraire de manière non supervisée les clusters dominants d’un histogramme 2D sans a priori sur leur nombre. Les érodés ultimes représentent les centres des classes et pour obtenir une coalescence final de l’histogramme 2D, une ligne de partage des eaux est effectuée sur l’image de distance aux érodés ultimes avec comme marqueurs ces derniers : W H = W atershed(H e , δ(H e )) avec δ la fonction distance. Toutes ces étapes sont décrites par la figure 2.30 pour l’histogramme RB de l’image de la figure 2.29(a). On remarque que la coalescence est très efficace, même dans des régions où les clusters sont relativement mélangés. (a) H RB (b) H (2) (c) H e (d) δ(H e ) (e) W HRB FIG. 2.30 – Illustration des étapes de la coalescence morphologique non supervisée sur l’histogramme 2D RB de la figure 2.30(a). Les figures 2.30(a) et 2.30(b) sont inversées. A partir d’une partition d’un histogramme 2D, nous pouvons obtenir une coalescence de l’image originale en effectuant la transformation inverse de celle de la construction de l’histogramme. Comme pour une image couleur, nous disposons de trois histogrammes 2D, trois coalescences sont obtenues. Ceci est décrit par les figures 2.31(a)-2.31(c). On peut alors constater que dans la coalescence de l’image obtenue par la coalescence de l’histogramme 2D RG, les deux clusters des pixels de couleur verte n’ont pas été dissociés. On remarque également que les numéros des clusters ne correspondent évidemment pas d’une partition à l’autre car leur nombre diffère. Nous avons également utilisé cette coalescence pour la segmentation d’images de microscopie de lavages bronchio-alvéolaires [66]. (a) RG (b) RB (c) GB (d) Intersection FIG. 2.31 – Coalescences obtenues ((a)-(c)) à partir de la figure 2.29(a) pour les trois projections bivariées. La figure (d) présente l’intersection des figures (a)-(c). 2.4.4.2 Sélection du niveau d’échelle de la coalescence La précédente méthode de coalescence morphologique est non supervisée car elle ne nécessite pas de préciser le nombre de classes voulues. Cependant, le nombre de clusters dépend fortement du paramètre β de lissage de l’histogramme. Faire varier ce paramètre permet de générer un ensemble de coalescences (non emboîtées) selon une approche espace-échelle. Plus le
2.4. Hiérarchies de partitions 53 lissage de l’histogramme est important, moins le nombre de clusters est important. Plutôt que de fixer a priori ce paramètre, nous préférons en déterminer une bonne valeur selon le contenu de l’image à segmenter. Pour cela, nous cherchons à évaluer la partition obtenue de l’image. On notera la différence essentielle entre une partition et une coalescence de l’image : une partition de l’image correspond à un étiquetage des composantes connexes de la coalescence de l’image. Pour régler le paramètre β, nous devons être capable de mesurer la qualité d’une partition. Nous avons choisi de réaliser ceci à l’aide d’une mesure d’énergie [KOEPFL94]. Une mesure d’énergie associée à une partition M d’une image I est définie comme suit [GUIGUE03B, POGGIO85] E : M × I → R + Comme il n’existe pas de mesure universelle de la qualité d’une partition d’une image, la qualité d’une partition peut être vue comme un compromis entre la qualité et la complexité du modèle (la partition M). La mesure d’énergie est alors décomposée en deux termes : E(M, I) = D(M, I) + C(M, I) La qualité de la partition exprime la fidélité aux données initiales et la complexité du modèle décrit son caractère simple ou non. Beaucoup de fonctions d’énergies peuvent se mettre sous cette précédente forme [BOYKOV01, MUMFOR89], la complexité du modèle n’étant pas toujours dépendante de l’image (par exemple la longueur des contours des régions). De manière similaire à PHILIPP-FOLIGUET [PHILIP06], nous proposons une mesure d’énergie permettant de mesurer la qualité d’une partition comme un compromis entre fidélité aux données initiales et complexité du modèle de la partition, ce dernier terme dépendant également de l’image originale. Nous considérons une partition comme un graphe d’adjacence de régions et définissons la mesure d’énergie comme suit : E(M, I) = α d × ∑ v∈V √ |V | D(M, I, v) + α c × ∑ v∈V [ 1 |u ∼ v| ] ∑ ‖f M (u) − f M (v)‖ u∼v (2.17) avec α c = 100 × et α h×w d = 1 . h × w désigne la taille de l’image I. D(M, I, v) permet de quantifier la fidélité d’une région v de la partition M par rapport à l’image originale. |E|×|V | Ceci est réalisé à l’aide d’un modèle gaussien [GUIGUE03A]. La distance entre deux régions ‖f M (u) − f M (v)‖ est réalisée à l’aide d’une distance de Mahalanobis. Le terme de fidélité est similaire à ceux employés pour les « Markov Random Field » [LI95, BOYKOV01] auquel nous avons ajouté le facteur de normalisation de LIU [LIU94] afin de pénaliser les modèles ayant trop de régions. Le terme de complexité est lié à la complexité du graphe d’adjacence de régions relativement à l’image originale. Ces deux termes sont antagonistes et une valeur faible de la mesure d’énergie traduit un bon compromis entre eux. En conséquence, trouver un minimum local de E(M, I) permet de trouver une partition qui n’est ni trop fine, ni trop grossière (relativement à l’ensemble des segmentations à évaluer). A présent que nous disposons d’une mesure de la qualité d’une partition, nous pouvons nous affranchir du choix du paramètre β de la coalescence morphologique. Pour cela, nous générons progressivement des partitions de plus en plus grossières en faisant varier β et nous stoppons dès l’apparition d’un minimum local. Cela permet de trouver automatiquement le « meilleur » niveau de simplification du processus de coalescence grâce à une mesure de qualité effectuée dans le domaine de l’image et non dans le domaine colorimétrique. Pour le cas des images couleur, nous avons trois histogrammes 2D et la détermination du paramètre β est réalisée de manière indépendante pour chaque projection. Ceci permet d’adapter la coalescence à chaque histogramme 2D.
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