traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

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14 Chapitre 2 - Traitement d’images par modèles discrets sur graphes FIG. 2.5 – Image de référence (peinture de Joan Miro : « Le chanteur ») avec une zone mise en valeur. Soit T 0 = T (G 0 ) le MST de G 0 . Un MST étant une généralisation aux grandes dimensions d’une liste triée de scalaires [THEOHA05], nous pouvons utiliser sa structure afin de déterminer les noeuds qui sont des candidats possibles pour être ses bornes. Un noeud v d’un chemin Hamiltonien est l’une de ses bornes si δ(v) = 1, c’est à dire que c’est une feuille. Nous utilisons ce principe pour les extraire. Soit N 0 = {u|δ(u) = 1, u ∈ T 0 } l’ensemble des feuilles de T 0 . Les noeuds de N 0 sont les seuls candidats possibles comme bornes du chemin Hamiltonien. Puisque la plupart du temps |N 0 | > 2, N 0 doit être réduit à deux éléments. Pour ce faire, nous répétons le même procédé sur le graphe complet construit sur les noeuds de N 0 jusqu’à ce que |N i | = 2 avec i le numéro de l’itération (évidemment |N i+1 | < |N i |). En résumé, pour extraire les bornes d’un chemin Hamiltonien, le principe peut être décrit comme suit : i ← 0 Construire le graphe complet G i sur la fenêtre d’analyse F Répéter T i = T (G i ) N i = {u|δ(u) = 1, u ∈ T i } Construire le graphe complet G i+1 sur les noeuds de N i i ← i + 1 jusqu’à ce que (|N i−1 | = 2) T i = G i N i = {u ∈ T i } Algorithme 1: Algorithme d’extraction des bornes d’un chemin Hamiltonien. A la fin du processus, N i = {u, v} contient exactement deux noeuds qui sont les bornes du chemin Hamiltonien. Cependant, il reste à déterminer lequel de ces deux noeuds est le ∨
2.2. Ordres de données vectorielles pour le traitement d’images 15 (respectivement le ∧). Le ∧ est identifié comme le noeud le plus proche à un vecteur de référence x ref [HANBUR01, SORIA-02] : ∨ = arg max v∈N i ‖f(v), x ref ‖ 2 et ∧ = arg min v∈N i ‖f(v), x ref ‖ 2 Cela correspond à utiliser une couleur de référence pour le cas des images couleur. Cette couleur de référence est généralement le noir. Utiliser une couleur de référence pour la définition d’un ordre vectoriel de couleurs a été initialement proposé par SORIA-FRISCH dans [SORIA-02] et HANBURY pour l’espace couleur IHSL [HANBUR01]. Calculer le MST d’un graphe a une complexité en O(|E|log|V |) et en O(N 2 logN) pour un graphe complet puisque |V | = |F | = N. On peut alors montrer que la complexité moyenne de l’algorithme est en O(N 3 logN). (a) G 0 (b) T 0 (c) G 1 (d) T 1 (e) G 2 FIG. 2.6 – Les graphes G i et T i lors des différentes étapes de l’algorithme pour l’extraction des bornes du chemin Hamiltonien. Pour chaque T i , les degrés des noeuds sont précisés sur la figure. T 2 n’est pas montré ici. La figure 2.6 présente les différentes étapes de l’algorithme. Le graphe complet G 0 est construit sur la fenêtre d’analyse F (Figure 2.6(a)) et son MST T 0 est calculé (Figure 2.6(b)). Un nouveau graphe complet est défini G 1 (Figure 2.6(c)) sur les feuilles de T 0 et son MST T 1 est calculé (Figure 2.6(d)). Finalement, un graphe complet G 2 contenant deux noeuds est obtenu (Figure 2.6(e)). Avec le noir comme couleur de référence x ref , le ∨ est le pixel du coin haut gauche de F et le ∧ le pixel central de la dernière ligne. 2.2.3.3 Construction de l’ordre de données vectorielles Une fois que les bornes du chemin Hamiltonien ont été déterminées, le chemin Hamiltonien peut être entièrement construit. Sur la fenêtre d’analyse F , un chemin Hamiltonien p = (v 1 , v 2 , · · · , v k ) doit respecter les propriétés suivantes : – La longueur de p est |F | = N, – Ses bornes sont des feuilles : δ(v 1 ) = δ(v k ) = 1, – v 1 = ∧ et v k = ∨, – Les noeuds (hors feuilles) ont un degré (simple) égal à deux : ∀v ∈ {v 2 , · · · , v k−1 }, δ(v) = 2. La construction du chemin Hamiltonien que nous proposons est basée sur le principe du plus proche voisin, le voisinage étant considéré sur le graphe complet initial G 0 afin de pouvoir couvrir n’importe quel chemin. Pour déterminer le plus proche voisin u d’un noeud v, nous considérons le poids de l’arête w(u, v) mais également la saillance du noeud voisin u. La saillance d’un noeud v nous permet de quantifier son importance globale dans la cascade des MST qui ont
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