traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

2.4. Hiérarchies de partitions 53
lissage de l’histogramme est important, moins le nombre de clusters est important. Plutôt que
de fixer a priori ce paramètre, nous préférons en déterminer une bonne valeur selon le contenu
de l’image à segmenter. Pour cela, nous cherchons à évaluer la partition obtenue de l’image. On
notera la différence essentielle entre une partition et une coalescence de l’image : une partition
de l’image correspond à un étiquetage des composantes connexes de la coalescence de l’image.
Pour régler le paramètre β, nous devons être capable de mesurer la qualité d’une partition. Nous
avons choisi de réaliser ceci à l’aide d’une mesure d’énergie [KOEPFL94]. Une mesure d’énergie
associée à une partition M d’une image I est définie comme suit [GUIGUE03B, POGGIO85]
E : M × I → R +
Comme il n’existe pas de mesure universelle de la qualité d’une partition d’une image, la qualité
d’une partition peut être vue comme un compromis entre la qualité et la complexité du modèle
(la partition M). La mesure d’énergie est alors décomposée en deux termes :
E(M, I) = D(M, I) + C(M, I)
La qualité de la partition exprime la fidélité aux données initiales et la complexité du modèle
décrit son caractère simple ou non. Beaucoup de fonctions d’énergies peuvent se mettre sous
cette précédente forme [BOYKOV01, MUMFOR89], la complexité du modèle n’étant pas toujours
dépendante de l’image (par exemple la longueur des contours des régions). De manière
similaire à PHILIPP-FOLIGUET [PHILIP06], nous proposons une mesure d’énergie permettant
de mesurer la qualité d’une partition comme un compromis entre fidélité aux données initiales
et complexité du modèle de la partition, ce dernier terme dépendant également de l’image originale.
Nous considérons une partition comme un graphe d’adjacence de régions et définissons la
mesure d’énergie comme suit :
E(M, I) = α d × ∑ v∈V
√
|V |
D(M, I, v) + α c × ∑ v∈V
[
1
|u ∼ v|
]
∑
‖f M (u) − f M (v)‖
u∼v
(2.17)
avec α c = 100 × et α h×w d = 1 . h × w désigne la taille de l’image I. D(M, I, v) permet
de quantifier la fidélité d’une région v de la partition M par rapport à l’image originale.
|E|×|V |
Ceci est réalisé à l’aide d’un modèle gaussien [GUIGUE03A]. La distance entre deux régions
‖f M (u) − f M (v)‖ est réalisée à l’aide d’une distance de Mahalanobis.
Le terme de fidélité est similaire à ceux employés pour les « Markov Random Field » [LI95,
BOYKOV01] auquel nous avons ajouté le facteur de normalisation de LIU [LIU94] afin de pénaliser
les modèles ayant trop de régions. Le terme de complexité est lié à la complexité du graphe
d’adjacence de régions relativement à l’image originale. Ces deux termes sont antagonistes et
une valeur faible de la mesure d’énergie traduit un bon compromis entre eux. En conséquence,
trouver un minimum local de E(M, I) permet de trouver une partition qui n’est ni trop fine, ni
trop grossière (relativement à l’ensemble des segmentations à évaluer).
A présent que nous disposons d’une mesure de la qualité d’une partition, nous pouvons nous
affranchir du choix du paramètre β de la coalescence morphologique. Pour cela, nous générons
progressivement des partitions de plus en plus grossières en faisant varier β et nous stoppons dès
l’apparition d’un minimum local. Cela permet de trouver automatiquement le « meilleur » niveau
de simplification du processus de coalescence grâce à une mesure de qualité effectuée dans le
domaine de l’image et non dans le domaine colorimétrique. Pour le cas des images couleur, nous
avons trois histogrammes 2D et la détermination du paramètre β est réalisée de manière indépendante
pour chaque projection. Ceci permet d’adapter la coalescence à chaque histogramme
2D.