traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

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Chapitre 2 - Traitement d’images par modèles
discrets sur graphes
2.2.2.1 Filtres morphologiques vectoriels
La morphologie mathématique est une approche non linéaire du traitement d’images qui
repose sur une structure fondamentale, le treillis complet L. Un treillis complet est défini tel que
[RONSE90] :
– Une relation d’ordre ≤ est définie sur L,
– Pour tout sous ensemble fini K de L, existent un supremum ∨K et un infimum ∧K.
Une approche marginale peut être évidemment utilisée, mais une approche purement vectorielle
est préférable. En effet, avec une approche marginale, le supremum et l’infimum n’appartiennent
pas toujours au treillis et des fausses couleurs peuvent apparaître [CHANUS98]. Ce défaut est à
présent bien établi dans la littérature. Une autre contrainte pour la définition de filtres morphologiques
est donc d’imposer le fait que le supremum et l’infimum d’un ensemble appartiennent
à celui-ci. En conséquence, des ordres totaux sont généralement considérés pour l’utilisation
de filtres morphologiques. Ainsi, les principaux ordres de données vectorielles en morphologie
mathématique sont l’ordre lexicographique [HANBUR01, ANGULO05B] et l’ordre par entrelacement
de bits [CHANUS98] qui sont des ordres totaux et qui remplissent toutes les contraintes
du treillis complet L.
Cependant, l’ordre lexicographique est très asymétrique. En conséquence, la plupart des
décisions d’ordre de données vectorielles sont prises au niveau de la première composante ce
qui implique d’attribuer une priorité aux composantes. Cela définit alors des opérateurs dont le
comportement n’est pas homogène dans un espace vectoriel donné tel qu’un espace couleur. Ce
choix de priorité entre les composantes étant difficile [ANGULO03, ORTIZ01, ANGULO05A],
il peut être contourné, pour le cas des images couleur, en changeant de représentation et en
considérant des espaces couleur perceptuels basés sur la luminance, la teinte et la saturation
[ANGULO05B, LOUVER02]. Dans ce type d’espace couleur, il devient plus naturel (d’un point
de vue de l’interprétation humaine) de choisir la priorité entre les composantes. Même si l’ordre
lexicographique a des désavantages, c’est le plus communément utilisé et il a été étudié par
de nombreux auteurs pour le filtrage morphologique [IWANOW99, LOUVER02, ORTIZ00, PE-
TERS97, TALBOT98, TSALID02, VARDAV01].
L’ordre par entrelacement de bits permet de limiter l’asymétrie entre les composantes. Cependant,
puisqu’il est basé sur un entrelacement de bits, il ne peut opérer que sur des données
vectorielles entières, ce qui n’est pas le cas de beaucoup d’espaces couleur ni, plus généralement,
de données multivariées. L’ordre par entrelacement de bits a donc été principalement conçu pour
traiter des images couleur dans l’espace couleur RGB.
Une fois qu’un ordre de données vectorielles a été choisi, nous pouvons appliquer les deux
principales opérations morphologiques, à savoir l’érosion ɛ et la dilatation δ. Indépendamment
de l’ordre vectoriel considéré, l’érosion et la dilatation définies sur une fenêtre de filtrage F
centrée en x sont définies par :
ɛ(x) = {y : y = ∧F } et δ(x) = {y : y = ∨F }
où ∨ et ∧ sont respectivement le supremum et l’infimum d’un ensemble. D’autres opérations
morphologiques élémentaires peuvent être obtenues par composition : l’ouverture (γ = δɛ) et la
fermeture (ϕ = ɛδ) par exemple.