traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

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Chapitre 2 - Traitement d’images par modèles
discrets sur graphes
∑
J = p (∇I i ∇Ii T ) pour une image multivariée. On peut définir la distance entre deux tenseurs
i=1
à l’aide de la norme de FROBENIUS [BURGET07]. La norme de FROBENIUS sur une matrice
( ) √
a11 a
2 × 2 représentant un tenseur de structure A est définie par : ‖A‖ =
12
2∑
= a
a 21 a 2 ij
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Ainsi, la distance entre deux tenseurs A et B est donnée par ‖A − B‖. La matrice de référence
considérée pour déterminer les bornes est la matrice nulle. On constate sur la figure 2.14 que
suivant la représentation considérée, les résultats diffèrent pour l’érosion et la dilatation. L’effet
global reste cependant le même. Tout l’intérêt réside ici dans le fait que pour effectuer une quelconque
opération morphologique sur des données multivariées (un vecteur RGB, un vecteur
CIECAM02 ou bien une matrice représentant un tenseur de structure), nous avons juste besoin
de définir une mesure de distance ; le reste de l’algorithme est identique. Nous pourrions donc
à présent appliquer n’importe quelle opération morphologique à une image d’IRM de tenseur
de diffusion comme cela est proposé par BURGETH [BURGET07]. Cependant, notre approche
est plus simple et ne change pas quelle que soit la représentation multivariée. Un exemple de
traitement sur une image 3D artificielle de tenseur de diffusion (chaque voxel est décrit par une
matrice 3 × 3) est donnée par la figure 2.15 où l’on applique une érosion, une dilatation et un
gradient morphologique avec un élément structurant de taille 5 × 5 × 5.
i,j=1
(a) Image artificielle de tenseur de diffusion.
(b) Érosion.
(c) Dilatation.
(d) Gradient morphologique.
FIG. 2.15 – Opérations morphologiques sur une image de tenseur de diffusion.
Afin d’illustrer le comportement de l’algorithme, nous l’appliquons au problème de réorganisation
de palettes couleur [PINHO04, BATTIA04]. On dispose d’une image couleur I codée
par une image d’index I index ∈ R 2 → N et d’une palette P ∈ N → R 3 où à chaque élément de
P est associé un vecteur RGB x i . Le vecteur couleur d’un pixel p(x, y) dans l’image couleur I
est donc défini par P (I index (p(x, y))). Nous appliquons l’algorithme de réduction de dimension