traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

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Chapitre 2 - Traitement d’images par modèles
discrets sur graphes
P à la puissance t. Si le graphe est connexe et non bipartite, alors la marche aléatoire converge
vers une distribution stationnaire π = [π 1 , · · · , π n ] satisfaisant πP t = π avec π i =
d i
c’est à
vol(V )
dire lim p t (v j , v i ) = π i .
t→∞
Il existe une connexion forte entre les marches aléatoires et le clustering spectral [HEIN05]. En
effet, les vecteurs propres v de P obtenus en résolvant P v = λv sont exactement les mêmes que
ceux obtenus sur le Laplacien normalisé. Le laplacien non normalisé est défini par :
et le Laplacien normalisé par
∆ = D − S
L = D −1 ∆ = I − D −1 S = I − P
Les vecteurs propres de (I − D −1 S)v = λ ′ v sont donc les mêmes que ceux de la matrice de
transition P et l’on a λ = 1 − λ ′ . Les valeurs propres de P sont λ 1 = 1 ≥ λ 2 ≥ · · · λ n ≥ −1 et
l’on a
|V |
∑
P = λ i v i v T i
i=1
Un parallèle peut alors être fait entre la matrice de transition P et le critère de coupe normalisé
de SHI et MALIK [SHI00]. Le critère de coupe normalisé Ncut est un critère pour trouver une
coupe optimale des noeuds V d’un graphe en deux sous-ensembles A et A et est défini comme
suit :
( ) 1
Ncut(A, A) =
V ol(A) + 1 ∑
S ij
V ol(A)
v i ∈A,v j ∈A
Ce problème étant NP-dur, SHI et MALIK ont proposé une méthode spectrale de coupe basée sur
le deuxième plus petit vecteur propre du Laplacien dont le signe des éléments définit la coupe.
Avec la relation précédente, cela permet de mettre en relation pourquoi le deuxième vecteur
propre est utilisé pour trouver la meilleure coupe et non le premier qui correspond au plus grand
vecteur propre v 1 = 1 de P et qui ne contient donc aucune information pour trouver une coupe.
Le vecteur propre v 1 de P associé à λ 1 est connu comme le vecteur de FIEDLER de P et fournit
de l’information concernant la structure en groupes du graphe. Cette mise en relation entre le
problème de coupe normalisée et les marches aléatoires est due à MEILA et SHI [MEILA01].
2.2.4.2 Réduction de dimension
Une manière idéale de concevoir un ordre de données vectorielles est, comme l’a proposé
GOUTSIAS [GOUTSI95], de concevoir une transformation h : R p → R q avec q ≪ p. Idéalement,
si q = 1 cela revient à notre approche précédente qui définit un chemin Hamiltionien
sur les données à ordonner. Une autre manière de procéder repose dans la construction de la
transformation h comme une opération de réduction de dimension. Le problème général de la
réduction de dimension est le suivant. A partir d’un ensemble {x 1 , x 2 , · · · , x N } de N vecteurs
de dimension p avec x i ∈ R p , on désire trouver un nouvel ensemble {y 1 , y 2 , · · · , y N } de N vecteurs
de dimension q avec y i ∈ R q et q ≪ p de manière à ce que y i représente au mieux x i . On
cherche donc à avoir ∥ ∥ yi − y ∥2 j qui soit faible lorsque x i et x j sont proches. C’est le principe
énoncé par BELKIN et NIYOGI [BELKIN03] appelé « Laplacian Eigenmaps » qui correspond à
minimiser sous contraintes
1 ∑
∥
∥ yi − y ∥2
2
j S ij = T r(Y T ∆Y)
ij