traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

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Chapitre 2 - Traitement d’images par modèles
discrets sur graphes
vectorielle considérée, c’est à dire sans connaissances a priori), préservant les vecteurs, et sans
priorité entre les composantes. Nos contributions respectent toutes ces propriétés. Pour conclure,
nous pouvons dire que tous les ordres usuels de la littérature ont des désavantages et il serait intéressant,
à partir de ces observations, de définir un nouvel ordre vectoriel qui soit suffisamment
général pour permettre d’effectuer un filtrage morphologique ou médian et ceci sur des données
vectorielles de dimensions quelconques.
2.2.3 Chemin Hamiltonien dans un graphe
2.2.3.1 Motivations
Comme nous l’avons mentionné précédemment il y a une équivalence
(ordre total sur R p )⇔(bijection h : R p → R)
On peut également relier la notion d’ordre vectoriel à la notion de courbe de remplissage de
l’espace. Une telle courbe est une courbe qui parcourt un espace multidimensionnel en passant,
de point en point, et de manière unique, par tous les points de cet espace. Cette courbe remplit
donc l’espace. Nous ne considérons que ces courbes dans le cas discret car nous opérons sur des
images représentées par une grille discrète. Nous pouvons alors établir la double équivalence
suivante :
(ordre total sur R p )⇔(bijection h : R p → R)⇔(courbe de remplissage de l’espace R p )
La figure 2.4 présente une courbe de remplissage de l’espace (de type PEANO) d’un domaine
discret qui est une image 2D. Sur cette figure sont également superposées quelques valeurs de
h(x).
A partir du moment où l’espace multidimensionnel est discret, nous pouvons le représenter
par un graphe connexe. Ainsi, nous pouvons établir la triple équivalence suivante :
(ordre total sur R p )⇔(bijection h : R p → R)⇔(courbe de remplissage de l’espace R p )⇔
(chemin Hamiltonien sur R p )
Les définitions habituelles des courbes de remplissage de l’espace dans R p pour le filtrage
d’images [STRING99, REGAZZ97] utilisent des courbes (par exemple une courbe de Peano)
qui sont indépendantes de l’organisation spatiale et elles ne respectent donc pas la topologie.
En effet, trouver une courbe de remplissage de l’espace qui respecte la topologie revient à
construire un chemin Hamiltonien. Trouver un chemin Hamiltonien est un problème trop difficile
(NP-complet) pour être directement résolu sur R p : pour un graphe de n noeuds, il y a
(n − 1)! chemins Hamiltoniens possibles. La recherche d’un chemin Hamiltonien a déjà été utilisé
dans le cadre des algorithmes de réorganisation de palettes couleur (provenant par exemple
d’images compressées) [PINHO04, BATTIA04]. Nous avons choisi de prendre ce point de vue
pour chercher à ordonner des données vectorielles à savoir construire une courbe de remplissage
de l’espace à travers la définition d’un chemin Hamiltonien. Ce chemin sera défini de manière
dynamique, mais plutôt que de chercher à définir ce chemin directement sur l’espace R p , nous
proposons de le faire sur une fenêtre d’analyse F .