traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

22
Chapitre 2 - Traitement d’images par modèles
discrets sur graphes
et ordonner les données multivariées grâce à un ordre lexicographique. Cependant, la représentation
la plus parcimonieuse basée sur un seul vecteur propre est généralement suffisante comme
nous allons le voir par la suite. Effectuer une réduction de dimension vers une représentation
scalaire (q = 1) nécessite, si l’on veut bénéficier d’un ordre total, de connaître les bornes de
l’ordre ainsi défini. En effet, la réduction de dimension proposée revient à définir directement
un chemin Hamiltonien, mais il reste à en définir les bornes minimum et maximum. Comme
précédemment, cela se réalise en convenant d’un vecteur de référence (dans l’espace initial), le
minimum étant la borne du chemin qui est la plus proche de la référence.
L’algorithme complet est donné ci-dessous :
Construire un graphe connexe sur les N données multivariées à ordonner
Calculer la matrice de Similarité S ∈ R N×N et les degrés D
Calculer la matrice de transition P = D −1 S
Calculer les vecteurs propres v 1 , · · · , v N de P v = λv
Retenir v 2 comme représentation des données.
Définir les bornes ∨ et ∧.
Algorithme 2: Algorithme pour ordonner des données vectorielles par réduction de dimension.
La complexité de l’algorithme est dominée par le calcul des vecteur propres qui est en
O(N 3 ).
2.2.4.4 Résultats
Reprenons tout d’abord l’exemple du filtrage que nous avons considéré pour la constitution
d’un chemin Hamiltonien. La figure 2.13 présente l’ordre obtenu par marches aléatoires sur une
fenêtre d’analyse. On considère un graphe complet et l’on effectue la réduction de dimension.
On constate que l’ordre obtenu est très proche des précédents résultats que nous avions obtenu.
Ceci illustre bien la validité de l’approche.
FIG. 2.13 – Comparaison entre différents ordres vectoriels sur une fenêtre d’analyse F de la
figure 2.5. Chaque couleur de F est indexée par un numéro qui est précisé ensuite dans chacun
des ordres obtenus.