traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

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Chapitre 2 - Traitement d’images par modèles
discrets sur graphes
v∈V
La norme du gradient mesure la régularité d’une fonction autour d’un noeud. Soit R une fonctionnelle
sur H(V ) définie par R p (f) = ∑ ‖∇ v f‖ p , pour chaque p ∈ [1, +∞). Cette fonctionnelle
R p peut être vue comme une mesure de régularité de f puisque c’est la somme des
variations locales en chaque noeud.
La divergence sur graphe est l’opérateur div : H(E) → H(V ) qui satisfait
〈df, h〉 H(E) = 〈f, −div(h)〉 H(V )
avec f ∈ H(V ) et h ∈ H(E). Cet opérateur −div est donc l’opérateur adjoint d ∗ de l’opérateur
de différence d. A partir des définitions des produits scalaires dans H(V ) et H(E) et de l’équation
(2.1), on peut prouver que la divergence sur graphe d’une fonction h ∈ H(E) en un noeud
v peut s’exprimer comme
(d ∗ h)(v) = (−div(h))(v) = ∑ u∼v
√
w(v, u) (h(u, v) − h(v, u)) (2.4)
2.3.2.2 Opérateur p-Laplacien
Le Laplacien sur graphe est un opérateur ∆ : H(V ) → H(V ) défini par ∆f = −div(df) =
d ∗ (df). Le Laplacien sur graphe est un opérateur linéaire car le gradient et la divergence sont
des opérateurs linéaires. De plus, le Laplacien est auto-adjoint :
et positif semi-défini :
〈∆f, g〉 H(V ) = 〈df, dg〉 H(E) = 〈f, ∆g〉 H(V )
〈∆f, f〉 H(V ) = 〈df, df〉 H(E) = R p (f) ≥ 0
ce qui implique que
∆f = ∂R p(f)
∂f
La courbure sur graphe est un opérateur non linéaire κ : H(V ) → H(V ) défini par
( ) ( )
df
df
κf = −div = d ∗
‖∇f‖ ‖∇f‖
(2.5)
(2.6)
Nous pouvons généraliser le Laplacien et la courbure par un opérateur qui peut être considéré
comme un analogue discret du p-Laplacien dans le cas continu [TROYAN00]. Le p-Laplacien
sur graphe est un opérateur ∆ p : H(V ) → H(V ) avec p ∈ [1, +∞) défini par
∆ p f = − 1 p div ( ‖∇f‖ p−2 df ) = 1 p d∗ ( ‖∇f‖ p−2 df ) (2.7)
En conséquence, nous avons ∆ 1 = κ et ∆ 2 = ∆. En substituant (2.1) et (2.4) dans la
définition (2.7) de ∆ p f, nous obtenons alors :
(∆ p f)(v) = 1 ∑
γ(u, v)(f(v) − f(u)) (2.8)
p
u∼v