traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

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Chapitre 2 - Traitement d’images par modèles
discrets sur graphes
2.3.3.5 Critère d’arrêt
Afin de déterminer automatiquement le nombre d’itérations, nous pouvons utiliser un critère
de terminaison défini comme ‖f t (v)−f t−1 (v)‖
< ε. Ceci permet de stopper les itérations lorsque
‖f t (v)‖
peu de modifications interviennent sur f t .
2.3.4 Liens vers d’autres approches
Nous présentons ici les liens qui existent entre notre approche par régularisation et d’autres
approches de la littérature. Notre approche définit une famille de filtres anisotropiques linéaires
(p = 2) et non linéaires (p = 1). En modifiant la topologie du graphe et les poids des arêtes, nous
obtenons naturellement les trois modèles de traitement que sont les traitements local, semi local
et non local. Par exemple, pour le traitement d’image, si l’on considère un graphe de type grille
en 8-voisinage avec une fonction de poids dont le vecteur de caractéristiques est F f (v) = f(v),
on obtient un traitement local. Si l’on augmente la connectivité des noeuds en les reliant à des
noeuds proches spatialement on obtient un traitement semi-local. Enfin, si l’on considère un vecteur
caractéristique représentant un patch (un ensemble des valeurs autour du noeud courant),
on obtient un traitement non local. Ce traitement non local peut, à l’extrême, être effectué sur
le graphe complet pour considérer un traitement complètement non local. En modifiant ensuite
la fonction de pondération associée aux arêtes du graphe, nous obtenons plusieurs connexions
avec des approches de la littérature.
Prenons tout d’abord le cas de p = 2 et λ = 0. Avec une fonction de poids de type g 3 et F f (v) =
f(v), nous obtenons un traitement équivalent au filtre bilatéral. De même, avec une fonction de
poids de type g 2 , nous obtenons un traitement équivalent au filtre de YAROSLAVSKY. Si l’on
considère un traitement non local avec une fonction de type g 2 et F f (v) = [f(u), v ∈ B v,s ] T un
carré centré en v de taille s, on obtient un traitement équivalent au filtre non local de BUADES.
On peut montrer également le lien qui existe entre le filtrage proposé et le filtrage spectral sur
graphe pour p = 2 et λ = 0 [COIFMA05, SZLAM06]. Dans ce cas, l’expression (2.15) se réduit
ϕ (t)
vuf (t) (u) où ϕ vu peut être interprété comme la probabilité de passer d’un
à f (t+1) (v) = ∑ u∼v
noeud v à un noeud u en une marche. En prenant la matrice Markov P (v, u) = ϕ vu et F la
matrice de f, la précédente équation itérative peut être réécrite comme F t+1 = P F (t) = P t F (0) .
Une façon équivalente de considérer les puissances de P est de décomposer F selon les premiers
vecteurs propres de P . Ceci permet de définir une base pour n’importe quelle fonction
f ∈ H(v) et celle-ci peut être décomposée selon les k premiers vecteurs propres de P par
f = ∑ i=k
i=1 〈f, v i〉 H(V ) v i , ce qui peut être interprété comme un filtrage dans le domaine spectral.
Quand λ ≠ 0 et que les poids sont constants, on obtient un traitement équivalent au EDP discrètes
proposées par CHAN [CHAN01B] (pour p = 1, c’est la régularisation par variation totale
et pour p = 2 c’est la régularisation L 2 ). Plus généralement, si les poids ne sont pas constants,
cela correspond à une régularisation L 2 ou par variation totale sur des graphes de topologies
arbitraires. On remarque que cette régularisation est naturellement non locale en augmentant la
connectivité des noeuds du graphe.