traitement d'images par modèles discrets sur ... - Olivier Lezoray

88 Chapitre 3 - Classification de données d’images par apprentissage
➋ Décomposition un-contre-un
Dans une méthode de décomposition un-contre-un, on cherche à définir les valeurs des p(ω =
ω i | x) à partir des estimations des p(ω = ω i | x, ω ∈ {ω i , ω j }) = D(ψ ωi ,ω j
, x) (ou 1 −
D(ψ ωi ,ω j
, x)) fournies par chacun des classificateurs binaires ψ ωi ,ω j
qui discriminent deux classes
ω i et ω j . Idéalement, les estimations p(ω = ω i | x) doivent satisfaire la relation suivante :
∀ω i : p(ω = ω i |x, ω ∈ {ω i , ω j }) =
p(ω = ω i |x)
p(ω = ω i |x) + p(ω = ω j |x)
(3.20)
Pour ce type de schéma de décomposition, on aura w(x) = arg max
ω i
p(ω = ω i |x) soit h =
arg max.
➲ Méthode basée sur le vote majoritaire : Ce principe de décodage est basé sur
l’utilisation du vote majoritaire et l’estimation de la probabilité d’appartenance à chaque classe
est la suivante :
p(ω = ω i |x) = 1 ∑n c ( ( ) )
I D ψ
N
ωi ,ω j
, x > 0, 5
(3.21)
j=1
j≠i
avec N = nc(nc−1)
2
un coefficient de normalisation et I(v) une fonction qui vaut 1 si v est vrai et
0 sinon.
➲ Méthode de Price et al : Price et al [PRICE94] démontrent que :
∑n c
j=1
j≠i
p(ω = ω i |x, ω ∈ {ω i , ω j }) − (n c − 2)p(ω = ω i |x) = 1 (3.22)
A partir de (3.20) et (3.22) ils obtiennent alors la relation suivante :
p(ω = ω i |x) =
∑n c
j=1
j≠i
1
(
D ψ ωi ,ω j
, x
)
− (n c − 2)
(3.23)
➲ Méthode d’Hastie et al : HASTIE et al [HASTIE97] proposent de choisir les valeurs
p(ω = ω i |x) de façon à ce qu’elles minimisent une mesure d’entropie relative (la distance de
KULLBACK-LEIBLER [KULLBA51]) entre les valeurs déduites(
de l’application ) de la relation
(3.20) et celles prédites par les fonctions de décision binaires D ψ ωi ,ω j
, x . Notons respectivement
ces deux types d’estimation p i,j et D i,j . Notons également p i les valeurs de p(ω = ω i |x)
et p le vecteur contenant l’ensemble des valeurs p i . L’objectif est de minimiser la fonctionnelle
l(p) suivante :
l(p) = ∑ i≠j
n i,j D i,j ln D i,j
p i,j
(3.24)
avec p i,j = p i /(p i + p j ) et n i,j le nombre d’exemples dans la base d’entraînement binaire
correspondante. HASTIE et al proposent alors un algorithme itératif simple pour réaliser la minimisation
de (3.24). WU et al [WU04] ont proposé une amélioration de cette méthode.