MÃ©thodes de Monte Carlo appliquÃ©es au pricing d ... - Maths-fi.com

More documents

Recommendations

Info

2.1. Tests d’adéquation à une loi donnéeSous H 0 ,K∑D 2 (n j − Np j ) 2=Np ji=1→loiχ 2 K−1 quand N → ∞On rejettera H 0 lorsque la distance entre les fréquences observées et théoriques sera grande, ce quiconduit à la région critique de niveau α : { D 2 > c } où α = pr ( D 2 > c ) ;2.1.2 Test de Kolmogorov-SmirnovCe test est fondé sur l’utilisation de la fonction de répartition empirique F Nx 1 ,...,x N :F N (x) = 1 N∑1 {xi≤x},Ni=1de l’échantillonet sur l’utilisation de la distance d K (F N , F ) de F N à F :d K (F N , F ) = sup |F N (x) − F (x)| .xLa loi limite de K N = √ Nd K (F N , F ) admet pour fonction de répartition :H(x) =+∞∑j=−∞(−1) j e−2j 2 k 2 , x > 0.La région critique de niveau α du test est {K N > c} où c = H −1 (1 − α).Dans la pratique d K (F N , F ) peut se calculer de la façon suivante :d K (F N , F ) = max [ d + (F N , F ), d − (F N , F ) ]où[ id + (F N , F ) = max1≤i≤N N − F ( ) ] [x (i) et d − (F N , F ) = max F ( ]) i − 1x (i) − ,1≤i≤NNx (1) , ..., x (N) représentant la statistique d’ordre associée à x 1 , ..., x N .2.1.3 Test de Cramer-von MisesLa statistique qui est ici utilisée s’écrit :∫WN 2 = N=N∑i=1R[F N (x) − F (x)] 2 dF (x)[F ( ]) 22i − 1X (i) − + 12N 12N .Cette statistique admet une loi limite permettant de déterminer la valeur de c définissant la régioncritique { W 2 N > c} pour un niveau α donné.12
2.2. Méthode des transformations2.2 Méthode des transformations2.2.1 Inversion de la fonction de répartitionLa simulation par inversion de la fonction de répartition constitue la méthode de simulation laplus directe. Elle repose sur le résultat suivant :Théorème 2.1 Soit F une fonction de répartition définie sur un intervalle [a, b], de fonctioninverseF −1 (u) = inf {z ∈ [a, b] : F (z) ≥ u} .Si U est une variable de loi uniforme sur [0, 1], alors Z = F −1 (U) est distribuée suivant F .Ce résultat découle du fait que pr (Z ≤ z) = pr ( F −1 (U) ≤ z ) = pr (U ≤ F (z)) = F (z).Lorsque l’on dispose de l’inverse de la fonction de répartition sous forme analytique, l’inversion dela fonction de répartition est une méthode de simulation exacte (si l’on dispose d’un vrai générateurde lois uniformes). Nous avons reporté dans le tableau 2.2.1 un certain nombre d’exemples courantsrépondant à ce critère.Distribution densité F −1 forme simplifiéeBetaBe (α, 1) αz α−1 α > 0, 0 ≤ z ≤ 1 u 1 α –BetaBe (1, β) β (1 − z) β−1 β > 0, 0 ≤ z ≤ 1 1 − (1 − u) 1 β1 − u 1 βExponentielle1E (λ)λ e −zλ λ > 0, z ≥ 0 −λ ln (1 − u) −λ ln uLogistique( )eL (α, β)−(z−α)/βuβ > 0, z ∈ R α + β lnβ[1+e −(z−α)/β ] 2 1−u–CauchyC (α, β)βπ[β 2 +(z−α) 2 ]β > 0, z ∈ R α + β tan π (u − 1/2) α + βtan πuParetoαβPa (α, β)αzα > 0, z ≥ β > 0 β (1 − u) −1/α βu −1/αα+1WeibullW (α, β) (α/β α ) z α−1 e −(z/β)α α, β > 0, z ≥ 0 β[− ln(1 − u)] 1/α β[− ln u] 1/αTableau 2.1. Exemples de distributions continues simulables par inversion de la fonction de répartition.Si l’inversion de la fonction de répartition ne peut être réalisée de façon explicite, seule peut êtreutilisée une approximation numérique de la solution de l’équation F (z) = u. Le calcul d’une telleapproximation peut être mené de deux façons différentes :– en utilisant un algorithme qui résout numériquement F (z) = u ;– en utilisant une fonction g approchant F −1 et connue de façon analytique.Résolution numérique de F (z) = uLa résolution numérique de l’équation F (z) = u est réalisée au moyen d’un algorithme. LorsqueF est continue, La solution z ∗ retournée ne peut être qu’approchée : elle dépend de la règle d’arrêtutilisée par l’algorithme mis en œuvre.13
Page 3: Table des matières1 Simulation d
Page 6 and 7: 1.1. Générateurs congruentiels li
Page 8 and 9: 1.2. Tests d’uniformitéqu’en d
Page 10 and 11: 1.2. Tests d’uniformitéCes valeu
Page 12: 1.3. Autres types de générateursL
Page 15: 2Simulation d’une loi non uniform
Page 19 and 20: 2.2. Méthode des transformationsmi
Page 21 and 22: 2.3. Le cas des distributions discr
Page 23 and 24: 2.3. Le cas des distributions discr
Page 25 and 26: 2.4. La méthode des mélanges disc
Page 27 and 28: 2.5. Simulation par acceptation-rej
Page 33 and 34: 3Méthodes de Monte Carlo appliqué
Page 35 and 36: 3.2. Variables de contrôleSi v g c
Page 37 and 38: 3.2. Variables de contrôleSi l’o
Page 39 and 40: 3.3. Échantillonnage d’importanc
Page 47 and 48: 3.4. Stratificationil peut être in
Page 49 and 50: 4Utilisation des copules pour la si
Page 51 and 52: 4.2. La méthode des distributionsC
Page 53 and 54: 4.2. La méthode des distributionsC
Page 55 and 56: 4.3. La méthode des distributions
Page 61 and 62: 4.5. La méthode des quantiles empi
Page 63 and 64: 5Méthodes de Monte Carlo appliqué
Page 65 and 66: 5.1. Le problème de l’agrégatio
Page 67 and 68:
5.2. Différentes méthodes de cons
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
5.3. Calcul de la charge en capital
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Bibliographie[1] Bouyé, E., V. Dur
show all

MÃ©thodes de Monte Carlo appliquÃ©es au pricing d ... - Maths-fi.com

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?