Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

3.3. Échantillonnage d’importance3.3 Échantillonnage d’importance3.3.1 Méthode généraleL’échantillonnage d’importance constitue une deuxième méthode permettant de construire desestimateurs du paramètre d’intérêt I g (équation 3.1 page 29 ), dont la variance, pour un nombrede simulations donné, est inférieure à la variance de l’estimateur de Monte Carlo standard. L’idéede l’échantillonnage d’importance est d’utiliser non plus la loi µ pour la simulation des variablesaléatoires, mais une loi instrumentale qui tient compte de la répartition, au sein de l’espace S, duproduit g (x) µ (dx). Les simulations ainsi obtenues sont alors pondérées pour supprimer le biaisinduit par le changement de loi lors de l’étape de simulation.Supposons que l’espace S puisse être identifié à R d , d ≥ 1, et que la mesure de probabilité µadmette une densité f par rapport à la mesure de Lebesgue sur R d :µ (dx) = f (x) dx.De plus, en limitant le champ de l’étude aux fonctions g positives, on peut réécrire I g sous la forme∫I g = g (x) 1 D (x) f (x) dx (3.6)R doù D représente le domaine au sein duquel la fonction g prend des valeurs strictement positives.Considérons à présent une fonction de densité sur R d , notée h , telle queLe relation (3.6) peut se réécrire∀x ∈ R d , g (x) > 0 =⇒ h (x) > 0.∫I g = g (x) f (x)R h (x) 1 D (x) h (x) dx. (3.7)dIl apparaît alors clairement que l’on peut construire un nouvel estimateur c is du paramètre I g ensimulant N variables aléatoires indépendantes y 1 , . . . , y N suivant la loi h et en posantc is = 1 NN∑i=1f (y i )h (y i ) g (y i) (3.8)La variance de cet estimateur vaut∫var (c is ) =D(g (x) f (x) ) 2h (x) − I g h (x) dx.Ainsi la densité h ∗ qui minimise la variance de l’estimateur pondéré s’écrit :h ∗ (x) =g (x) f (x)I g,la variance de l’estimateur c ∗ is étant alors nulle. Notons que ce résultat est sans grand intérêtpratique puisque la construction de h ∗ fait intervenir le paramètre d’intérêt I g ! Il montre néanmoinsque la densité h à utiliser pour la construction de c is doit être choisie de telle sorte que fghsoitquasi constant et de variance finie. Le changement de loi conduit donc à un tirage fréquent desvaleurs de x pour lesquelles le produit gf prend des valeurs élevées, les valeurs de x telles quef (x) g (x) est faible étant plus rarement sélectionnées.35