3.5. Variables antithétiquesoù Φ représente la fonction <strong>de</strong> répartition <strong>de</strong> la loi normale centrée réduite. On tire alors le vecteuraléatoire X | X ∈ Str i à partir <strong>de</strong> la dé<strong>com</strong>position :X | X ∈ Str iloi= Φ −1 (u i ) s + Yoù u i suit une loi uniforme sur [ i−1k ; i k]indépendante <strong>de</strong> Y.Le problème qui se pose alors est <strong>de</strong> déterminer une direction s permettant <strong>de</strong> réduire signi<strong>fi</strong>cativementla variance. Pour plus <strong>de</strong> détail sur la façon <strong>de</strong> déterminer s, le lecteur pourra se référerà [13, Glasserman et al., 1998].3.5 Variables antithétiquesJusqu’à présent, nous avons présenté les métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>Monte</strong> <strong>Carlo</strong> <strong>com</strong>me <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s nécessitantla production d’échantillons <strong>de</strong> variables aléatoires indépendantes, i<strong>de</strong>ntiquement distribuées.Néanmoins, il peut s’avérer préférable <strong>de</strong> construire <strong>de</strong>s échantillons <strong>de</strong> variables corrélées dans lamesure où cela peut conduire à une réduction <strong>de</strong> la variance <strong>de</strong>s estimateurs correspondants.Plus précisément, considérons un premier échantillon <strong>de</strong> taille 2N, (x 1 , . . . , x 2N ) , <strong>de</strong> variablesaléatoires indépendantes distribuées suivant la loi µ. Cet échantillon permet d’estimer le paramètred’intérêt I g = ∫ g (x) µ (dx) à partir <strong>de</strong> la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>Monte</strong> <strong>Carlo</strong> standard, en utilisant laSstatistique c g . Si l’on dispose par ailleurs d’un second échantillon <strong>de</strong> taille N, (y 1 , . . . y N ) , <strong>de</strong>variables aléatoires iid suivant la loi µ, on peut construire un nouvel estimateur c ant <strong>de</strong> I g enposant :c ant = 1 N∑g (x i ) + g (y i ) . (3.15)2Ni=1Si les variables g (X i ) et g (Y i ) sont corrélées négativement, cet estimateur est plus ef<strong>fi</strong>cace quel’estimateur <strong>de</strong> <strong>Monte</strong> <strong>Carlo</strong> standard fondé sur un échantillon iid <strong>de</strong> taille 2N.Rubinstein [22] propose la métho<strong>de</strong> suivante pour la simulation <strong>de</strong>s échantillons (x i ) 1≤i≤Net(y i ) 1≤i≤Ndans le cas où g ◦ µ − est monotone (µ − représente l’inverse <strong>de</strong> la fonction <strong>de</strong> répartition<strong>de</strong> la loi µ) : x i est généré à partir <strong>de</strong> la réalisation d’une loi uniforme u i en posantx i = µ − (u i ) ,y i étant généré <strong>de</strong> la même façon à partir <strong>de</strong> 1 − u i . Cette métho<strong>de</strong> est relativement restrictivedans la mesure où d’une part, il f<strong>au</strong>t que la condition <strong>de</strong> monotonie portant sur g ◦ µ − soit véri<strong>fi</strong>ée,et d’<strong>au</strong>tre part, il f<strong>au</strong>t disposer <strong>de</strong> µ − <strong>de</strong> façon analytique, ce qui est rarement le cas.Une métho<strong>de</strong> plus aisément implémentable a été proposée par Geweke [12] dans le cas où laloi µ est symétrique <strong>au</strong>tour d’une valeur m. Cette métho<strong>de</strong> consiste à simuler un échantillon <strong>de</strong>N réalisations (x 1 , . . . , x N ) <strong>de</strong> façon indépendante suivant la loi µ et à poser y i = 2m − x i , i ∈{1, . . . , N}. Une telle métho<strong>de</strong> est facilement applicable en <strong>fi</strong>nance dans la mesure où les variablesaléatoires simulées sont la plupart du temps construites à partir <strong>de</strong> lois normales.44
4Utilisation <strong>de</strong>s copules pour la simulation d’unvecteur aléatoireDans ce chapitre, nous abordons le problème <strong>de</strong> la simulation du vecteur aléatoire X = (X 1 , . . . , X n )à partir <strong>de</strong> la représentation copule <strong>de</strong> sa distribution F :F (x 1 , . . . , x n ) = C (F 1 (x 1 ) , . . . , F n (x n ))Ce problème revient à simuler le vecteur aléatoire U = (U 1 , . . . , U n ) dont la distribution est lacopule C et à utiliser la transformation X = ( F −11 (U 1 ) , . . . , F −1n (U n ) ) . La dif<strong>fi</strong>culté majeure estdonc <strong>de</strong> simuler la copule C. Nous présentons trois métho<strong>de</strong>s pour obtenir <strong>de</strong>s nombres aléatoires <strong>de</strong>C. Parfois, les marges F 1 , . . . , F n ne sont pas connues analytiquement. Dans ce cas, nous utilisonsla métho<strong>de</strong> dite <strong>de</strong>s quantiles empiriques.4.1 Simulation <strong>de</strong> variables aléatoires uniformes indépendantesNous avons déjà traité ce problème dans la première partie <strong>de</strong> ce cours. Dans cette section,nous voulons juste construire un générateur SOBOL a<strong>fi</strong>n <strong>de</strong> mieux <strong>com</strong>parer graphiquement lessimulations. Les procédures suivantes permettent <strong>de</strong> simuler <strong>de</strong>s nombres aléatoires uniformes etg<strong>au</strong>ssiens à partir du générateur classique à congruence linéaire – rndCopulaSobol(0) – ou à partirdu générateur SOBOL donné dans Press [23, Teukolsky, Vetterling et Flannery (1992)] –rndCopulaSobol(dim).Co<strong>de</strong> GAUSS 4.1 – Générateurs LCG et SOBOL <strong>de</strong> nombres aléatoires uniformes et g<strong>au</strong>ssiens–/***> rndCopulaSobol***/proc (0) = rndCopulaSobol(dim);local x;if dim