MÃ©thodes de Monte Carlo appliquÃ©es au pricing d ... - Maths-fi.com

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2.5. Simulation par acceptation-rejetde connaître deux fonctions h 1 et h 2 faciles à évaluer et encadrant f : h 1 ≤ f ≤ h 2 . L’algorithmeque l’on met en place est alors le suivant :Algorithme 2.11 Étant données une loi instrumentale g, une constante c telle que f ≤ cg, etdeux fonctions h 1 et h 2 encadrant f,1. Simuler U ∼ U(0, 1) et X ∼ g de façon indépendante, et pose W = cg(X).2. Si W ≤ h 1 (X), accepter X ;Sinon, si W ≤ h 2 (X) alors – si W ≤ f(X), accepter X ;– sinon retourner en 1.2.5.3 Le cas des densité log-concaves : La méthode des cordesGraphique 2.5. Enveloppe supérieure du log d’une densité log-concaveSi la densité f de la loi que l’on l’on souhaite simuler est log-concave, il est possible de définirune fonction majorante de log f affine par morceau à partir des cordes de log f. Notons l N unetelle fonction et S N l’ensemble des points x 0 , x 1 , ..., x N , x N+1 tels que l N soit affine sur [x i , x i+1 ] ,avec x 0 = −∞ et x N+1 = +∞. Soit alors {(λ i , µ i ) , 0 ≤ i ≤ N} l’ensemble des couples tels quePosonsl N (x) = µ i x + λ i si x i ≤ x ≤ x i+1N−1∑ − eϖ = eλ0+µ0x1+ e λi eµixi+1 µixi− eλ N +µ N x Nµ 0 µ i µ Ni=1La fonction de répartition L N associée à l N s’écrit, en fonction des paramètres que l’on vientd’introduire :L N (x) = p k + e λ eµ kx − e µ kx kkϖµ ksi x k < x ≤ x k+1 , 0 ≤ k ≤ Noùk−1∑ − ep k = e λi eµixi+1 µixi.ϖµ ii=026
2.5. Simulation par acceptation-rejetL’algorithme suivant exploite la fonction de répartition L N pour simuler des variables distribuéessuivant une densité f log-concave :Algorithme 2.12 – Méthode des cordes –1. Générer deux lois uniformes indépendantes U 1 et U 2 sur [0, 1].2. Déterminer k ∈ {0, . . . , N − 1} tel que p k de cet algorithme est qu’il permet la mise à jour de l’ensemblede points S N à chaque fois que f (x) est calculé (étape 3 de l’algorithme) : la fonction majorantel N devient alors plus précise à mesure que le nombre de simulations augmente, ce qui réduit lenombre de rejets.De plus il peut être amélioré s’il est plus facile de calculer la fonction minorante construite àpartir des cordes que la fonction f elle même.2.5.4 La méthode du rapport d’uniformes.La méthode du rapport d’uniforme repose sur le résultat suivant :{√Théorème 2.5 Soit D = (x, y) , 0 ≤ x ≤ f ( yx) } .Si (X, Y ) est uniformément distribué sur D, alors Y Xa pour densité 1 cf où c = 2Aire(D).Graphique 2.6. Simulation d’une loi normale par la méthode du rapport d’uniforme. représentation dudomaine d’acceptationLe ratio Y Xdes points acceptés (en bleu) est distribué suivant la loi N (0, 1)Nous avons vu précédemment comment simuler une variable uniformément répartie sur le domaineD : il suffit d’appliquer le principe de rejet en incluant D dans un domaine P plus simple,27
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Bibliographie[1] Bouyé, E., V. Dur
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