MÃ©thodes de Monte Carlo appliquÃ©es au pricing d ... - Maths-fi.com

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2.5. Simulation par acceptation-rejetNombre moyen d’itérations.Notons N le nombre d’itérations nécessaires pour retourner une valeur au cours de l’algorithmed’acceptation-rejet.oùpr(N = i) = (1 − p) i−1 p et pr(N ≥ i) = (1 − p) i−1p = pr(cUg(X) ≤ f(X))∫ (= pr U ≤ f(x) )g(x)dxcg(x)∫ f(x)= dxc= 1 cPar conséquent EN = 1 p= c : la probabilité d’accepter la variable simulée suivant g est égale àl’inverse de c. Il convient donc de choisir c le plus grand possible.Exemple 2.11 – Simulation d’une loi normale à partir de la densité de Laplace –La densité de la loi de Laplace s’écrit :g(x) = 1 2 e−|x| , x ∈ RSi on note f la densité de la loi normale N (0, 1), on peut montrer quef(x) ≤ cg(x) avec c =On peut donc mettre en place l’algorithme suivant :√2eπAlgorithme 2.10 1. Simuler une loi exponentielle E(1) et deux loi U et V iid U(0, 1). Si U < 1 2X ← −X (X est maintenant distribué suivant la loi de Laplace)2. si V 1 √2πe 1 2 −|X| ≤ 1 √2πe − X22 , accepter X, sinon retourner en 1.Exemple 2.12 – Le “Wedge generator” –On se propose ici de simuler la loi de densitéf(x) = eλ−x − 1e λ − 1 − λIl s’agit de la fonction intervenant dans la méthode de simulation de la loi exponentielle présentéeà la section 2.4 page 21.La méthode d’acceptation-rejet peut s’appliquer ici en remarquant quef(x) ≤ d(x) = λ − xλe λ − 1e λ − λ − 1Dès lors, pour obtenir une variable aléatoire distribuée suivant f, il suffit de simuler un couple decoordonnées positives et uniformément répartie sous la droite d’équation y = d(x).24
2.5. Simulation par acceptation-rejetGraphique 2.3. Simulation d’une loi normale à partir de la loi de LaplaceL’abscisse des points acceptés (en bleu) par l’algorithme est distribuée suivant la loi N (0, 1)Graphique 2.4. Simulation de la densité f(x) = eλ−x −1, 0 ≤ x ≤ λ, λ = 2.e λ −λ−1La simulation est réalisée à partir d’un couple de variables positives uniformément réparties sous la droitey = λ − xλe λ − 1e λ − λ − 1 .L’abscisse des points acceptés (en bleu) est distribuée suivant la loi cible.2.5.2 La méthode du “squeeze”La méthode du “squeeze” permet de raffiner l’algorithme 2.9 page 23. Cette méthode est intéressantelorsque la densité f de la loi à simuler est longue à calculer. Pour l’appliquer, il est nécessaire25
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5.3. Calcul de la charge en capital
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Bibliographie[1] Bouyé, E., V. Dur
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