Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

3.4. Stratificationil peut être intéressant de récrire le paramètre d’intérêt I g = E Q [g (X)] sous la forme équivalentesuivante :k∑I g = µ (Str i ) E Q [g (X) | X ∈ Str i ]oùi=1E Q [g (X) | Str i ] =∫1g (x) µ (dx) .µ (Str i ) Str iLa méthode de Monte Carlo par stratification consiste alors à simuler, au sein de chacune desstrates Str i considérée, un échantillon de N i réalisations indépendantes ( )x i 1, . . . , x i N i issues devariables aléatoires distribuées suivant µ i . On construit alors un estimateur sans biais de I g enposantc str =k∑i=1µ (Str i )N i∑N ij=1g ( x i )j(3.14)Posons N = ∑ ki=1 N i et supposons que N i = µ (Str i ) N. Dans ce cas, la variance de l’estimateurc str s’écrit :var (c str ) = 1 N EQ [var (g (X) | Str (X))] .La formule de décomposition de la variance permet d’écrirevar (g (X)) = E Q [var (g (X) | Str (X))] + var ( E Q [g (X) | Str (X)] ) ,si bien quevar (c str ) = var (c g ) − 1 N var ( E Q [g (X) | Str (X)] ) .La stratification permet donc de réduire la variance, par rapport à une méthode de Monte Carlostandard, du terme 1 N var ( E Q [g (X) | Str (X)] ) . Notons que cette méthode sera d’autant plusefficace que la variance de la variable g (X) au sein de chacune des strates sera faible, et que lavariance inter-strate sera élevée.Le cas d’un vecteur gaussien.On s’intéresse ici au cas particulier d’un vecteur gaussien. Considérons une variable aléatoire Xà valeur dans S = R d , de loi N (0, I d ) et un vecteur unitaire s ∈ R d . Le vecteur aléatoire X peutse récrire sous la formeX = (s ′ X) s + Yoù Y = X − (s ′ X) s est un vecteur gaussien centrée de matrice de variance-covariance I d − P s ,P s = ss ′ étant la matrice de la projection orthogonale sur le vecteur s. De plus, Y est indépendantde s ′ X ∼ N (0, 1) 4 .On construit alors k strates Str i , i ∈ {1, . . . , k} , suivant la valeur prise par la variable s ′ X. Plusprécisément, on définit Str i par∀i ∈ {1, . . . , k} , X ∈ Str i ⇐⇒ i − 1k≤ Φ (s ′ X) < i kalors4 Rappelons que siX 2 |X 1 = x 1 ∼ N[( m1(X 1 , X 2 ) ∼ Nm 2),( )]Σ11 Σ 12,Σ 21 Σ 22[]m 2 + Σ 21 Σ −111 (x 1 − m 1 ) , Σ 22 − Σ 21 Σ −111 Σ 12 .Le résultat présenté s’obtient en considérant X 2 = X et X 1 = s ′ X.43