Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

2.5. Simulation par acceptation-rejetNombre moyen d’itérations.Notons N le nombre d’itérations nécessaires pour retourner une valeur au cours de l’algorithmed’acceptation-rejet.oùpr(N = i) = (1 − p) i−1 p et pr(N ≥ i) = (1 − p) i−1p = pr(cUg(X) ≤ f(X))∫ (= pr U ≤ f(x) )g(x)dxcg(x)∫ f(x)= dxc= 1 cPar conséquent EN = 1 p= c : la probabilité d’accepter la variable simulée suivant g est égale àl’inverse de c. Il convient donc de choisir c le plus grand possible.Exemple 2.11 – Simulation d’une loi normale à partir de la densité de Laplace –La densité de la loi de Laplace s’écrit :g(x) = 1 2 e−|x| , x ∈ RSi on note f la densité de la loi normale N (0, 1), on peut montrer quef(x) ≤ cg(x) avec c =On peut donc mettre en place l’algorithme suivant :√2eπAlgorithme 2.10 1. Simuler une loi exponentielle E(1) et deux loi U et V iid U(0, 1). Si U < 1 2X ← −X (X est maintenant distribué suivant la loi de Laplace)2. si V 1 √2πe 1 2 −|X| ≤ 1 √2πe − X22 , accepter X, sinon retourner en 1.Exemple 2.12 – Le “Wedge generator” –On se propose ici de simuler la loi de densitéf(x) = eλ−x − 1e λ − 1 − λIl s’agit de la fonction intervenant dans la méthode de simulation de la loi exponentielle présentéeà la section 2.4 page 21.La méthode d’acceptation-rejet peut s’appliquer ici en remarquant quef(x) ≤ d(x) = λ − xλe λ − 1e λ − λ − 1Dès lors, pour obtenir une variable aléatoire distribuée suivant f, il suffit de simuler un couple decoordonnées positives et uniformément répartie sous la droite d’équation y = d(x).24