Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

5.2. Différentes méthodes de construction la VaR de marché5.2 Différentes méthodes de construction la VaR de marchéNous présentons dans cette section quatre méthodes de calcul de la VaR de marché. Les deuxpremières approches ne requièrent pas l’utilisation de simulations Monte Carlo : il s’agit de La VaRhistorique et de la VaR gaussienne.Les deux approches suivantes sont des approches paramétriques dans lesquelles la dépendanceentre les différents facteurs de risque est modélisée au moyen d’une copule. Ces deux approchesdiffèrent par la façon dont chaque source de risque est prise en compte :– Dans l’approche paramétrique, la loi de chaque facteur de risque est issue d’un modèle paramétrique;– Dans l’approche semi-historique (ou semi-paramétrique), la loi des différents facteurs correspondà la distribution empirique.Cadre d’analyseSoit un portefeuille linéaire de n actifs. Nous notons P i (t) et r i (t) le prix et le rendement del’actif i à la date t. Si θ = (θ 1 , . . . , θ n ), la valeur du portefeuille à la date t estn∑P (t) = θ i P i (t)i=1Nous supposons que les facteurs de risque sont les rendements des actifs. A la date t, la valeur duportefeuille P (t + 1) est aléatoire et nous avonsn∑P (t + 1) = θ i P i (t + 1)Le P&L entre les dates t et t + 1 est donc=i=1n∑θ i P i (t) (1 + r i (t + 1))i=1Π (t + 1 | t) = P (t + 1) − P (t)n∑= θ i P i (t) r i (t + 1)i=1= θ ⋆ (t) ⊤ r (t + 1)où r (t + 1) est le vecteur aléatoire des rendements (r 1 (t + 1) , . . . , r n (t + 1)) et θ ⋆ (t) est le vecteurdont la i-ième composante est θ i P i (t). Notons F la distribution de r (t + 1). La valeur en risqueau seuil de confiance α est alors définie parV ar (α) = − inf {x : P {Π (t + 1 | t) ≤ x} ≥ 1 − α}= −F −1 (1 − α)Pour chaque méthode de calcul de la VaR, les applications numériques utilisent la base de donnéesdu London Metal Exchange étudiée dans [2, Bouyé et al., 2000]. Nous considérons en particulierla dépendance entre le prix spot de l’aluminium (que nous notons AL) et le prix forward 15 mois(que nous notons AL-15), ainsi que les prix spot du cuivre (CU), du nickel (NI) et du plomb (PB).Les trois portefeuilles considérés ont la composition suivante :AL AL-15 CU NI PBP 1 1 1 1 1 1P 2 -1 -1 -1 1 1P 3 2 1 -3 4 563