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2.2. Méthode des transformationsExemple 2.3 – Obtention d’une loi Beta à partir de deux lois Gamma indépendantes –Ce deuxième exemple illustre comment il est possible d’obtenir une loi Beta Be (α, β) (α > 0,β > 0) à partir de deux lois Gamma de paramètres (α, 1) et (β, 1).Rappelons dans un premier temps que la densité d’une loi Gamma Ga(a, b) (a > 0, b > 0) s’écrit :celle d’une loi Be (a, b) (a > 0, b > 0) étant :x a−1 e −xbΓ (a) b a , x ≥ 0,Γ (α + β)Γ (α) Γ (β) xα−1 (1 − x) β−1 , x ∈ [0, 1] .Dès lors, on peut montrer que si X 1 etX 2 sont deux lois Gamma indépendantes Ga(α, 1) Ga(β, 1),Xalors 1X 1+X 2suit une loi Beta Be (α, β). Considérons pour cela la transformation y = x1x 1+x 2etz = x 1 + x 2 , dont la transformation inverse est x 1 = yz et x 2 = (1 − y)z. Le Jacobien de cettetransformation s’écrit : ∣ ∣∣∣∣ ∂x 1 ∂x 1∂y ∂z∂x 2 ∂x 2∂y ∂z∣ = |z|,()Xsi bien que la densité f du couple (Y, Z) = 1X 1+X 2, X 1 + X 2 s’écrit :f (y, z) = (yz)α−1 e −yzΓ (α)((1 − y)z) β−1 e −(1−y)zzΓ (β)= Γ (α + β) yα−1 (1 − y) β−1Γ (α) Γ (β)z α+β−1 e −zΓ (α + β) ,ce qui montre le résultat énoncé.Notons de plus que X 1 + X 2 est indépendanteX 1X 1+X 2et qu’il s’agit d’une loi Gamma Ga(α + β, 1).De façon générale, la somme de N lois Gamma indépendantes Ga(a 1 , b), ..., Ga(a N , b) est unelois Gamma Ga( ∑ a i , b). Cette propriété intéressante permet d’établir les résultats de l’exemplesuivant :Exemple 2.4 – Utilisation de la loi exponentielle –Nous avons vu que si U suit une loi uniforme sur [0, 1], alors −λ ln U suit une loi exponentiellede paramètre λ. En remarquant que la loi exponentielle E (λ) correspond à la loi Ga(1, λ), on obtientles résultats suivants :– Si U 1 , ..., U N sont N lois indépendantes, uniformément réparties sur [0, 1], alorsY = −2N∑ln U i ∼ χ 2 2N = Ga(N, 2).i=1– Si U 1 , ..., U a , ..., U a+b sont a + b lois indépendantes uniformément réparties sur [0, 1], alors∑ ai=1Y =ln U i∑ a+bi=1 ln U ∼ Be(a, b).iL’exemple que nous considérons maintenant présente deux méthodes de simulation différente dela loi t de Student.16
2.3. Le cas des distributions discrètesExemple 2.5 – Simulation de la loi t de Student à N degrés de liberté–La première façon de simuler une loi de Student à N degrés de liberté repose sur la relationfonctionnelle classique exprimant la loi de Student à partir d’une loi normale et d’un Khi-deux.Si X suit une loi normale N (0, 1) et Y une loi Gamma Ga ( N2 , 2) (ie un Khi-deux à N degrés deliberté), alorsZ =X √YNsuit la loi t de Student à N degrés de liberté, i.e. Z a pour densitéΓ ( )N+1 (2Γ ( ) √ 1 + z2N2 πN N) −N+12La demonstration de ce résultat est directe en utilisant le théorème 2.2 page 15.La simulation d’une loi de Student à N degrés de liberté peut également être réalisée en 1 ligne,simplement à partir de deux lois uniformes indépendantes. En effet, si U et V sont iid U(0, 1),alors√ ( )X = N U − 2 N − 1 cos2πV ∼ t NUn tel résultat peut bien entendu être démontrer à partir du théorème 2.2 page 15. Le lecteurintéressé par la façon dont on peut établir une telle relation pourra se reporter à [7, Devroye]Exemple 2.6 – Simulation d’une loi Beta symétrique –La simulation d’une loi Beta Be(a, a) (a > 1 2) peut être réalisée de la façon suivante (Ulrich,1984) :Si U et V sont deux lois uniformes sur [0, 1], indépendantes, alorsX = 1 2 + 1 √2 sin 2πV 1 − U 22a−1 ∼ Be(a, a)Notons que cette relation ne permet pas de simuler de loi Beta symétrique de paramètre inférieurà 1 2. On peut remédier à ce problème en exploitant le résultat démontré par Best (1978) :()Be(a, a) loi= 1 t 2a1 + √2 2a + t22aDès lors, compte tenu de la deuxième méthode de simulation de la loi de Student que nous avonsprésenté précédemment, si U et V sont iid U(0, 1) et si S est un signe aléatoire équi-distribué,alorsX = 1 2 + 1 S√∼ Be(a, a)211 + ( )U − 1 a −1cos 2 2πV2.3 Le cas des distributions discrètesLa distribution d’une variable aléatoire discrète est déterminée par la donnée d’une suite p 0 ,...,p k ,...telle que :pr(X = i) = p iSi le support de X est fini, cette distribution est connue sous forme de table. Sinon, il peut s’agird’une expression analytique (par exemple, p i = λi e −λi!dans le cas de la loi de Poisson P(λ)).17
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5.3. Calcul de la charge en capital
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Bibliographie[1] Bouyé, E., V. Dur
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