Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

1.2. Tests d’uniformitéTest spectralPour une famille d’hyperplans parallèles induite par un couple de paramètres (A, M) et caractériséepar un vecteur q, on considère la distance (euclidienne) entre deux hyperplans consécutifs,que l’on note d k (q, A, M). On définit alorsd k (A, M) = max d k (q, A, M)qcomme étant la distance maximale entre deux hyperplans parallèles adjacents parmi l’ensemble desfamilles d’hyperplans possibles.Plus cette distance est petite, meilleur est le choix des paramètres A et M : le générateur couvremieux l’hypercube [0, 1] k . La minimisation de cette distance peut donc constituer un premier critèrepermettant de déterminer les paramètres A et M. Notons que d k (A, M) ne peut pas être renduaussi petit qu’on le désire. Cette propriété fait l’objet du lemme suivant :Lemme 1.1 Soit M un nombre premier. Il existe γ k tel que d k (A, M) M 1 k ≥ γ k .On peut donc construire un premier critère normalisé S 1 , défini par :S 1 doit être le plus proche de 1 possible.γ kS 1 =.d k (A, M) M 1 kNombre d’hyperplans minimalOn deuxième critère caractérisant la distribution latticielle liée au couple (A, M) est le nombred’hyperplans parallèles N k (q, A, M) contenant l’ensemble des k-uplets possibles : plus ce nombreest petit, plus la taille des régions de [0, 1] k qui sont vides est importante. Considérons alors la plusmauvaise performance N k (A, M) définie parN k (A, M) = minqN k (q, A, M) .De même que dans la section précédente, on dispose d’un lemme montrant l’existence d’une bornesupérieure pour N k (A, M), indépendante de A :Lemme 1.2 Soit M un nombre premier. N k (A, M) ≤ (k!M) 1 k.On peut donc définir un second critère normalisé S 2 par :S 2 = N k (A, M)(k!M) 1 kDe même que pour S 1 , le choix de A et M sera d’autant plus judicieux que la valeur de S 2 seraproche de 1.Application : le cas de rndu (., .)Le tableau suivant présente les valeurs de S 1 et S 2 pour le générateur utilisé par Gaussfonction de la dimension considérée :Dimension 2 3 4 5 6 7 8S 1 0.556 0.575 0.667 0.768 0.595 0.581 0.718S 2 0.597 0.504 0.624 0.660 − − −en5