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1.2. Tests d’uniformitéqu’en dimension k = 3, les triplets (u n , u n+1 , u n+2 ) se localisent sur un nombre fini d’hyperplans.Une telle propriété se généralise à l’ensemble des générateurs congruentiels linéaires, quelle que soitla dimension k considérée.Le second type de tests d’uniformité est plus général puisqu’il est adapté à n’importe quelgénérateur de nombres pseudo-aléatoires : il s’intéresse aux propriétés statistiques que doiventvérifier des nombres aléatoires s’ils sont indépendants et distribués suivant une loi uniforme.1.2.1 Structure latticielle des générateurs congruentielsGraphique 1.2. Représentation de (U i, U i+1) dans le cas où A = 16807 et M = 2 31 − 1Dans le cas où M est premier 1 , tous les k-uplets (x i , x i+1 , . . . , x i+k−1 ) construits à partir del’algorithme 1.1 page 2 se situent sur des familles d’hyperplans de la forme (Marsaglia, 1968)k−1∑q s x i+s ≡ 0 (mod (M)) .s=Un tel résultat constitue un défaut pour les générateurs congruentiels : il met en évidence lespropriétés de régularité de la répartition dans l’espace des nombres pseudo-aléatoires construits àpartir de ce type de générateur. La régularité induite par un générateur congruentiel dépend bienentendu du choix des coefficients A et M.Les deux paragraphes suivants présentent deux tests d’uniformité reposant sur la structure latticielledes générateurs congruentiels linéaires. A titre d’exemple, ces deux tests ont été appliquésà rndu (., .).1 Il existe des résultats équivalents dans le cas où M est de la forme 2 β . Le lecteur pourra se reporter à [8,Fishman] pour plus de détails.4
1.2. Tests d’uniformitéTest spectralPour une famille d’hyperplans parallèles induite par un couple de paramètres (A, M) et caractériséepar un vecteur q, on considère la distance (euclidienne) entre deux hyperplans consécutifs,que l’on note d k (q, A, M). On définit alorsd k (A, M) = max d k (q, A, M)qcomme étant la distance maximale entre deux hyperplans parallèles adjacents parmi l’ensemble desfamilles d’hyperplans possibles.Plus cette distance est petite, meilleur est le choix des paramètres A et M : le générateur couvremieux l’hypercube [0, 1] k . La minimisation de cette distance peut donc constituer un premier critèrepermettant de déterminer les paramètres A et M. Notons que d k (A, M) ne peut pas être renduaussi petit qu’on le désire. Cette propriété fait l’objet du lemme suivant :Lemme 1.1 Soit M un nombre premier. Il existe γ k tel que d k (A, M) M 1 k ≥ γ k .On peut donc construire un premier critère normalisé S 1 , défini par :S 1 doit être le plus proche de 1 possible.γ kS 1 =.d k (A, M) M 1 kNombre d’hyperplans minimalOn deuxième critère caractérisant la distribution latticielle liée au couple (A, M) est le nombred’hyperplans parallèles N k (q, A, M) contenant l’ensemble des k-uplets possibles : plus ce nombreest petit, plus la taille des régions de [0, 1] k qui sont vides est importante. Considérons alors la plusmauvaise performance N k (A, M) définie parN k (A, M) = minqN k (q, A, M) .De même que dans la section précédente, on dispose d’un lemme montrant l’existence d’une bornesupérieure pour N k (A, M), indépendante de A :Lemme 1.2 Soit M un nombre premier. N k (A, M) ≤ (k!M) 1 k.On peut donc définir un second critère normalisé S 2 par :S 2 = N k (A, M)(k!M) 1 kDe même que pour S 1 , le choix de A et M sera d’autant plus judicieux que la valeur de S 2 seraproche de 1.Application : le cas de rndu (., .)Le tableau suivant présente les valeurs de S 1 et S 2 pour le générateur utilisé par Gaussfonction de la dimension considérée :Dimension 2 3 4 5 6 7 8S 1 0.556 0.575 0.667 0.768 0.595 0.581 0.718S 2 0.597 0.504 0.624 0.660 − − −en5
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5.3. Calcul de la charge en capital
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Bibliographie[1] Bouyé, E., V. Dur
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