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4.4. Les méthodes dites analytiquesLa méthode bivariée s’étend sans difficulté (sur le plan mathématique) au cas multivarié. Prenonspar exemple le cas trivarié. Nous avons l’algorithme suivant :1. Simuler trois variables aléatoires uniformes v 1 , v 2 et v 3 .2. Prendre u 1 égal à v 1 .3. Soit C (u 2 ; u 1 ) = C 2|1 (u 1 , u 2 , 1). Prendre u 2 égal à C −1 (v 2 ; u 1 ).4. Soit C (u 3 ; u 1 , u 2 ) = C 3|1,2 (u 1 , u 2 , u 3 ). Prendre u 3 égal à C −1 (v 3 ; u 1 , u 2 ).La seule difficulté numérique est donc le calcul de la distribution conditionnelle C m|1,...,m−1 (u 1 , . . . , u n )pour m ≤ n. Cela n’est cependant pas un problème si l’on maîtrise la récursivité.4.4 Les méthodes dites analytiquesDans ce paragraphe, la simulation est spécifique à chaque copule ou à un type de copule.Par exemple, pour simuler la copule Clayton (pour θ > 0), nous pouvons employer l’algorithmedonné par Devroye [6, 1986] :1. Simuler deux variables aléatoires exponentielles standards x 1 et x 2 .2. Simuler une variable aléatoire x de distribution Γ (1, θ).3. Prendre u 1 = (1 + x 1 /x) −θ et u 2 = (1 + x 2 /x) −θ .Code GAUSS 4.8 – Simulation de la copule Clayton –/***> rndCopulaClayton***/proc (2) = rndCopulaClayton(theta,ns);local x1,x2,x,u1,u2;x1 = -ln(rndu(ns,1));x2 = -ln(rndu(ns,1));x = rndgam(ns,1,theta);u1 = (1+x1./x)^(-theta);u2 = (1+x2./x)^(-theta);retp(u1,u2);endp;Il existe plusieurs algorithmes pour simuler les copules Archimédiennes 1 . Genest et MacKay[10, 1986] proposent celui-ci :1. Simuler deux variables aléatoires uniformes v 1 et v 2 .2. Prendre u 1 = v 1 .( ( ))) )3. Prendre u 2 = ϕ(ϕ(ϕ −1 ′−1 ϕ ′ v1v 2− ϕ (v 1 ) .Le lecteur pourra montrer en exercice qu’il s’agit de l’algorithme des distributions conditionnelles.1 Genest et MacKay [10, 1986] définissent une copule Archimédienne (Archimedean copula) de la façon suivante :{ ϕC (u 1 , u 2 ) =−1 (ϕ (u 1 ) + ϕ (u 2 )) si ϕ (u 1 ) + ϕ (u 2 ) ≤ ϕ (0)0 sinonavec ϕ une fonction de classe C 2 qui vérifie ϕ (1) = 0, ϕ ′ (u) < 0 et ϕ ′′ (u) > 0 pour tout u ∈ [0, 1]. ϕ (u) est appeléle générateur (ou la fonction génératrice) de la copule. Ce générateur est dit strict si ϕ (0) = ∞ et non-strict siϕ (0) < ∞.56
4.5. La méthode des quantiles empiriques4.5 La méthode des quantiles empiriquesLe problème de cette section n’est plus la simulation du vecteur U dont la distribution est unecopule C, mais concerne la simulation du vecteur X dont la copule est C et les marges pas forcémentuniformes. Dans les sections précédentes, X est simulé à partir de la transformation suivante :X =⎛⎜⎝F −11 (U 1 )..F −1n (U n )Cela implique de connaître les distributions analytiques F 1 , . . . , F n . Cela n’est pas toujours le cas(pensez au risque opérationnel et aux distributions composées des pertes, ou encore à un modèlebidimensionnel de volatilité stochastique à la Heston). Néanmoins, s’il est possible de simulerles marges F 1 , . . . , F n , alors nous pouvons simuler la distribution multidimensionnelle F grâce à laméthode des quantiles empiriques. Soit F i,m le processus de distribution empirique (non normalisé).Nous avons le résultat suivant [24, Shorack et Wellner,1986] :⎞⎟⎠sup |F i,m (x) − F i (x)| a.s.→ 0 lorsque m → 0xSoient U m et F m les processus de distribution empirique correspondants aux distributions C (u 1 , . . . , u n )et F (x 1 , . . . , x n ). En utilisant un argument de type Glivenko-Cantelli, nous avons∣ (supU p F−11,m (u 1) , . . . , F −1n,m (u n ) ) − C ( F −1u 1,...,u n1 (u 1 ) , . . . , F −1n(u n ) )∣ ∣ a.s.→ 0 lorsque m ∧ p → 0Code GAUSS 4.9 – Simulation de la distribution multidimensionnelle F par la méthode desquantiles empiriques –/***> rndCopulaEmpiricalQuantile***/proc (1) = rndCopulaEmpiricalQuantile(u,x);local n,ns,y,i;n = cols(u);ns = rows(u);y = zeros(ns,n);x = x .* ones(1,n);i = 1;do until i > n;y[.,i] = _rndCopulaEmpiricalQuantile(x[.,i],u[.,i]);i = i + 1;endo;retp(y);endp;57
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Table des matières1 Simulation d
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1.1. Générateurs congruentiels li
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1.2. Tests d’uniformitéqu’en d
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