Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

2.3. Le cas des distributions discrètesIl s’agit bien évidemment d’une méthode extrêmement rapide lorsque G −1 est connue de façonexplicite. Le résultat découle simplement du fait quepr (⌊ G −1 (U) ⌋ ≤ i ) = pr(G −1 (U) < i + 1) = G(i + 1) = F (i).Exemple 2.8 – Simulation d’une loi géométrique de paramètre p –La loi géométrique est définie par pr (X = i) = p(1 − p) i−1 , i ≥ 1. Définissons alors G(x) =1 − e −λx avec p = 1 − e −λ . La fonction G vérifie :⌈si bien que X =lnUln(1−p)G(i + 1) − G(i) = e −λi ( 1 − e −λ) = p(1 − p) i ,⌉, suit une loi géométrique de paramètre p si U ∼ U(0, 1).Exemple 2.9 – Simulation d’une loi uniforme de paramètre sur {1, ..., K} –La loi uniforme est définie par pr (X = i) = 1 K. En considérantG(x) = x − 1K , 1 ≤ x ≤ K + 1,on voit X = ⌊Ku + 1⌋ , est uniformément distribué sur {1, ..., K}.2.3.3 La méthode de la table guideCette méthode consiste à accélérer l’algorithme de recherche séquentielle 2.4 page précédente.Comme nous l’avons vu, le défaut de cet algorithme est qu’il nécessite en moyenne EX comparaisonsau cours de l’étape de recherche avant de retourner une valeur. La méthode proposée ici chercheà réduire le nombre de comparaisons. Pour cela, il est nécessaire de déterminer un candidat pluspertinent que la modalité 0 pour initialiser la phase de recherche.Notons F la distribution de la variable X à simuler et U un élément de [0,1]. Le candidat retenupar la méthode de la table guide est la première modalité x de la variable aléatoire à simuler donton soit sûr qu’elle vérifie : F (x) > U[Soit N+1 le nombre de modalité de X. A chacun des intervallesassocie la plus grande modalité g i telle que F(x) < i+1N+1 , i.e. :[Ainsi si l’on sait que u ∈iN+1 , i+1N+1Pour une valeur de u donnée, l’indice i u vérifiantiN+1 , i+1N+1[(0 ≤ i ≤ N), onF (g i ) < i + 1N + 1 ≤ F (g i + 1)[, la modalité à retenir pour initialiser l’algorithme est g i + 1.i u = ⌊(N + 1)u⌋iN+1 ≤ u < i+1N+1 s’écritL’algorithme reposant sur cette analyse s’écrit de la façon suivante :Algorithme 2.6 – Méthode de la table guide –Une fois la table des g i , i ∈ {0, ..., N} initialisée,1. Simuler U ∼ U(0, 1)2. Poser X = ⌊(N + 1)u⌋3. X ← g X + 119