Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

2.2. Méthode des transformationsmise en place d’une méthode de simulation par inversion de la fonction de répartition :(g (u) = signe u − 1 ) [c 0 + c 1 t + c 2 t 2 ]t −2 1 + d 1 t + d 2 t 2 + d 3 t 3où t = √ − ln [min (u, 1 − u)], les coefficient c i et d i prenant les valeurs suivantes :i c i d i0 2.515517 –1 0.802853 1.4327882 0.010328 0.1892693 – 0.001308L’erreur absolue que l’on réalise en utilisant une telle approximation est strictement inférieureà 0.45 × 10 −3 . Si l’on utilise g (u) comme valeur initiale de l’un des algorithme permettant larésolution numérique de de F (z) = u, cette erreur peut encore être réduite. Sous Gauss, lafonction invcdfn (.) proposée par D. Baird emploie une telle méthode, l’algorithme utilisé étantl’algorithme de Newton-Raphson.2.2.2 Utilisation de Relations fonctionnellesL’intérêt de la méthode de simulation par inversion de la fonction de répartition est d’exhiberune relation fonctionnelle simple entre une loi élémentaire (loi uniforme sur [0, 1]) et une loi pluscomplexe que l’on souhaite simuler. Une telle approche se généralise grâce au théorème suivant :Théorème 2.2 Soit X une variable aléatoire de densité g sur ∆ ⊂ R d et ϕ : ∆ → S ⊂ R d un C 1- difféomorphisme : ϕ −1 est C 1 et J ϕ −1 (x) = det ( ϕ −1) ′(x) ≠ 0 pour tout x ∈ S.Alors, La variable Y = ϕ (X) a pour densité :g [ ϕ −1 (x) ] ∣ ∣ Jϕ −1 (x) ∣ ∣ , x ∈ S.Ce théorème permet d’obtenir de nombreuses distributions sous la forme de une où plusieursfonctions de variables aléatoires relativement simples.Exemple 2.2 – Simulation d’une loi normale N (0, 1), algorithme de Box-Muller –Ce premier exemple montre comment il est possible de simuler de façon exacte deux lois normalescentrées réduites indépendantes à partir de deux lois iid U[0, 1] : si U 1 et U 2 sont deux lois uniformessur [0, 1] et indépendantes, alors les variables X 1 et X 2 définies parX 1 = √ −2lnU 1 cos 2πU 2X 2 = √ −2lnU 1 sin 2πU 2sont indépendantes, de loi N (0, 1).Pour démontrer ce résultat,il suffit de remarquer que la transformation inverse s’écrit ici :((u 1 , u 2 ) = e − x2 1 +x2 2 12 ,2π arctan x )2+ k où k = 0 si (x 1 , x 2 ) ∈ R + × R + ,x 1 12 si (x 1, x 2 ) ∈ R − × R,1 si (x 1 , x 2 ) ∈ R + × R − .Un calcul rapide montre que le Jacobien de cette transformation est exactement la densité d’uneloi normale centrée réduite en dimension 2.15