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3.1. Contrôle de la convergence3.1 Contrôle de la convergenceConsidérons l’estimateur standard c g du paramètre d’intérêt I g présenté en introduction. Enappliquant la loi forte des grands nombres, on a :lim c g = I g p.s.N→∞Comme dans le cas des méthodes d’intégration déterministes, l’erreur d’approximation liée à c gdécroît lorsque N augmente. Néanmoins, l’erreur ne s’exprime pas ici en terme d’approximationmathématique mais suivant des considérations statistiques liées à l’aléa de l’échantillonnage. Enparticulier, comme nous l’avons déjà noté, la convergence de c g vers le paramètre d’intérêt I g estune convergence presque sure, ce qui signifie que()Q lim c g = I g = 1.N→∞Si cette propriété est bien évidemment souhaitable, elle ne permet pas d’évaluer l’erreur commiselorsque N est fini.Nous présentons ici la méthode d’évaluation de l’erreur communément utilisée en pratique pourrésoudre ce problème. Elle repose sur la construction d’un intervalle de confiance. De plus, nousexplicitons les approximations réalisées afin de mettre en évidence les limites d’un tel intervalle.L’intervalle IC (λ) que l’on souhaite expliciter est centré sur l’estimateur c g , et tel que le paramètred’intérêt I g appartienne à IC (λ) avec probabilité 1 − λ :Q (I g ∈ IC (λ)) = 1 − λLorsque le moment d’ordre 2 de g (X) est fini, le théorème central limite assure que :()√ 1N∑loiN g (x i ) − I g → N (0, var [g (X)]) .Ni=1Ainsi,(pour N suffisamment)grand, on peut supposer que l’estimateur c g est distribué suivant uneloi N I g , var[g(X)]N. Cette première approximation permet d’écrire IC (λ) sous la forme suivante :[ √var[g(X)]IC (λ) = c g −NΦ(1 −1 − λ ) √var[g(X)], c g +2NΦ(1 −1 − λ )](3.3)2où Φ représente la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Il est important deremarquer que l’approximation réalisée induit ici une première erreur sur la définition de l’intervallede confiance, erreur qui ne peut être contrôlée : si les queues de distribution de la véritable loi dec g sont plus épaisses que pour la loi normale, alors l’utilisation de l’intervalle IC (λ) défini par larelation (3.3) sur-estime l’efficacité de l’estimateur c g et, inversement, l’efficacité de c g est sousestiméesi les queues de distribution sont plus fines.Par ailleurs, le paramètre var [g (X)] est a priori inconnu. Néanmoins, on peut l’estimer àpartir de l’échantillon des variables x i simulées pour construire c g . Si l’on note v g l’estimateur dela variance de g (X) construit à partir des réalisations x i , on a :v g = 1 NL’intervalle de confiance s’écrit alors[IC (λ) = c g −(2N∑g (x i ) 2 1N∑− g (x i )).Ni=1√vgN Φ−1 (1 − λ 2i=1) √vg, c g +N(1 Φ−1 − λ )]2(3.4)30
3.2. Variables de contrôleSi v g correspond bien à un estimateur convergent, sans biais, de var [g (X)], le fait de remplacervar [g (X)] par v g dans la formule (3.3) introduit une nouvelle source d’erreur liée à l’aléa del’échantillonnage.Notons en outre que l’erreur induite par l’utilisation de la statistique v g est d’autant plus importanteque c g et v g ne sont pas des statistiques indépendantes. La corrélation entre ces deuxstatistiques conduit à sur-estimer, ou sous-estimer, la précision de l’estimateur c g . Par exemple,dans le cas particulier où g (X) est une variable de Bernoulli de paramètre λ, Fishman [8] montrequelim corr (c g, v g ) =N→∞⎧⎨⎩1 si 0 ≤ λ < 1 20 λ = 1 2.1−12 < λ ≤ 1En général, la corrélation entre c g et v g ne tend donc pas vers 0 lorsque le nombre de simulationsutilisées tend vers l’infini.Les intervalles de confiance que nous présentons dans les divers applications numériques reposentsur l’utilisation de la formule 3.4 page précédente. Les quelques remarques que nous venons deformuler montrent qu’il s’agit d’un outil de contrôle imparfait. Il permet néanmoins d’avoir unepremière idée de la vitesse de convergence des estimateurs que nous allons construire.3.2 Variables de contrôleCette première méthode repose sur la connaissance d’une fonction h pour laquelle on sait calculerI h = E Q [h (X)]. On peut alors construire un nouvel estimateur sans biais de I g exploitant cetteinformation supplémentaire. On considère pour cela l’estimateur c ctl défini de la façon suivantec ctl (β) = c g − β (c h − I h ) (3.5)où c h est l’estimateur de Monte Carlo standard de I h . La variance de c ctl estvar (c ctl ) = var (c g ) + β 2 var (c h ) − 2βcov (c g , c h ) ,si bien que le choix optimal pour β correspond àβ ∗ = cov (c g, c h )var (c h ) ,( )la variance de c ctl (β ∗ ) étant alors égale à 1 − ρ 2 g,hvar (c g ) . Notons que si la variance de c ctl (β ∗ )est nécessairement inférieure à la variance de c g , une forte réduction de la variance implique cependantune corrélation très élevée entre la variable g (X) et la variable de contrôle h (X) , ce quilimite la portée de cette première méthode.D’un point de vue pratique, β ∗ étant inconnu (on ne connaît pas a priori cov (c g , c h )), onconstruit dans un premier temps un estimateur de ce paramètre à partir d’un nombre relativementréduit de simulations. La valeur obtenue est alors utilisée pour construire un estimateur c ctl de I g .Notons que l’estimation préliminaire de β ∗ ne biaise pas l’estimation de I g par c ctl , que l’on réalisedans un second temps seulement, de façon indépendante.Dans l’application suivante, l’utilisation d’une variable de contrôle s’avère particulièrement efficace.31
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