Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

3.3. Échantillonnage d’importance3.3.2 Le cas des processus de diffusionLe choix du changement de probabilité pour la simulation des variables aléatoires constitue ladifficulté principale des méthodes d’échantillonnage d’importance. La famille de densités possibles,au sein de laquelle on recherchera la loi instrumentale, dépend bien entendu du cadre d’analysedans lequel on se place.Dans le cas particulier des modèles financiers, les variables aléatoires utilisées correspondent laplupart du temps à des processus de diffusion. Ainsi, I g s’écritI g = I g (t, x) = E Q [g (X s , t ≤ s ≤ T ) | X t = x] ,X = (X t ) 0≤t≤T étant un processus à valeur dans R d , solution d’une équation différentielle stochastiquede la formedX t = b (t, X t ) dt + σ (t, X t ) dW t , (3.9)où (W t ) t≥0est un mouvement brownien standard de dimension d défini sur l’espace (Ω, F, Q).Le théorème de Girsanov que nous rappelons ici permet d’introduire un nouveau formalisme afind’orienter le choix de la loi instrumentale.Théorème 3.1 – Girsanov –()Soit T > 0, Ω, (F t ) 0≤t≤T, F T , Q un espace filtré et (W t ) un F t – mouvement brownien d -dimensionnel issu de 0.Soit (φ t ) 0≤t≤Tun processus à valeurs dans R d , mesurable, adapté. Si le processus M (φ) définipar[ ∫ tM (φ)t = exp − φ s dW s − 1 ∫ t]|φ s | 2 ds ,20est une martingale sous Q alors on définit une nouvelle probabilité Q (φ) sur (Ω, F T ) en posant 2 :0dQ (φ)dQ= M (φ)T ,et le processus B t = W t + ∫ t0 φ sds, t ∈ [0, T ] est un F t -mouvement brownien pour la probabilitéQ (φ) .Compte tenu de ce théorème, il apparaît que le paramètre d’intérêt I g (t, x) peut s’écrire :[ ]I g (t, x) = E Q(φ) g (X s , t ≤ s ≤ T ) L (φ)t,T | X t = x , (3.10)oùL (φ)t,T= M (φ)tM (φ)T= exp[ ∫ Ttφ s dB s − 1 2∫ Tt]|φ s | 2 dsUn estimateur c (φ)is (t, x) de I g (t, x) peut donc être construit en simulant N trajectoires indépendantessuivant la loi du processus (X s ) t≤s≤Tsous la probabilité Q (φ) , et en posantc (φ)is (t, x) = 1 NN∑i=1g (x s (i) , t ≤ s ≤ T ) L (φ)t,T(i) . (3.11)2 Une ( condition suffisante portant sur le processus φ correspond au critère de Novikov : si∫ )] [ ]E[exp Q T0 |φs|2 ds < ∞ alors E Q M (φ)T = 1 et M (φ) est une Q – martingale.39