Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com
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2.5. Simulation par acceptation-rejet– i = k + 1, ..., 2k : p i = ( e λ − 1 − λ ) e −λ(i−k)– i = 2k + 1 : p 2k+1 = e −λkf i (x) = e−x+λ(i−k) −1)e λ −1−λ, (i − k − 1)λ ≤ x ≤ (i − k)λ ;f 2k+1 (x) = e −x+λ(k) , x ≥ λk.Ainsi, si les <strong>com</strong>posantes 1 à k sont tirés, on simule une loi uniforme.Les <strong>com</strong>posantes k +1 à 2k peuvent être simulées par la métho<strong>de</strong> d’acceptation-rejet présentée dansla section suivante.En ce qui concerne la <strong>com</strong>posante 2k + 1, il convient <strong>de</strong> remarquer quepr(X > x|X > kλ) = 1 − e −(x−kλ) .Par conséquent, (X − kλ|X > kλ) suit une loi E(1). La simulation suivant f 2k+1 peut donc êtreréalisée en tirant dans la loi {p 1 , ..., p 2k+1 } jusqu’à ce que l’indice J tiré soit inférieur ou égal à 2k.On retourne kIλ + X, X ∼ f J , où I représente le nombre <strong>de</strong> tirages nécessaires pour que J ≤ 2k.2.5 Simulation par acceptation-rejetLa simulation par acceptation rejet constitue une métho<strong>de</strong> alternative à la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s transformationlorsque l’on ne réussit pas à écrire la loi à simuler <strong>com</strong>me une transformée <strong>de</strong> variables.Ce type <strong>de</strong> métho<strong>de</strong> nécessite la connaissance <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsité à <strong>de</strong> la loi à simuler une constantemultiplicative près, et repose sur l’utilisation d’une loi instrumentale que l’on sait déjà simuler.2.5.1 Le cas généralNous <strong>com</strong>mençons par présenter les théorèmes sur lesquelles se fon<strong>de</strong> la simulation par acceptationrejet.Théorème 2.3 Soit U ∼ U(0, 1) et X une variable aléatoire indépendante <strong>de</strong> U <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité f surR d .Alors (X, cUf(X)) est uniformément distribué sur A = { (x, v) : x ∈ R d , 0 ≤ v ≤ cf(x) } , c étantune constante positive arbitraire.réciproquement, si (X, V ) est uniformément distribué sur A, alors X est distribué suivant f.Le graphique 2.2 page suivante illustre ce théorème 2.3 dans le cas où X ∼ N (0, 1).Théorème 2.4 Soit X 1 , X 2 , ... une famille <strong>de</strong> variables aléatoires iid à valeurs dans R d et A ⊂ R d .Si Y = X I où I = min {j : X j ⊂ A}, alors pour tout B mesurable :pr(Y ∈ B) = pr (x 1 ∈ A ∩ B)pr (X 1 ∈ A)En particulier si X 1 et uniformément distribuée sur A 0 ⊃ A alors Y est uniformément distribuéesur A.22